Théorème des pavages : quatre types de symétries suffisent-ils ?

Intervenant 10:00

Bienvenue dans le podcast du magazine Tangente, chers auditeurs, nos formidables apprenants.

Intervenant 20:04

Bonjour à tous.

Intervenant 10:05

Alors aujourd'hui, on va parler de quelque chose que vous avez sûrement tous expérimenté quand vous visitez des palais historiques comme l'Alhambra, par exemple.

Intervenant 20:14

Ah oui, magnifique.

Intervenant 10:15

Ou même simplement quand vous observez les mosaïques, les carrelages qui ornent certains monuments, votre cerveau vous souffle tout de suite une idée.

Intervenant 20:22

Laquelle ?

Intervenant 10:24

Que l'artiste disposait d'une imagination sans limite.

Intervenant 20:26

Ah oui, c'est l'impression que ça donne.

Intervenant 10:28

Face à cette profusion d'entrelacs, les répétitions, notre intuition nous dit qu'il doit exister des milliards de motifs possibles pour remplir cet espace.

Intervenant 20:36

C'est

Intervenant 10:37

vrai. Figurez-vous que votre cerveau vous ment. Absolument. Notre exploration d'aujourd'hui, qui se base sur un article vraiment fascinant intitulé « Signature et théorème des pavages », eh bien ça prouve mathématiquement que l'artiste était en fait prisonnier.

Intervenant 20:53

Prisonnier, le mot est fort.

Intervenant 10:55

Prisonnier d'une liste strictement limitée d'options.

Intervenant 20:58

Et c'est là que c'est fascinant. Les mathématiques ont en effet cette fâcheuse tendance, ou merveilleuse tendance, à dissiper l'illusion de l'infini pour y révéler une structure finie, presque rigide en fait.

Intervenant 11:11

Oui, l'œil humain repère la complexité, c'est ça.

Intervenant 21:14

Exactement. L'œil voit le chaos artistique, mais le mathématicien, lui, il cherche le groupe de symétries sous-jacents. Et pour aborder cette classification, de ce qu'on appelle souvent les groupes de papier peint ou les groupes de pavage du plan, il faut manipuler le concept de symétrie.

Intervenant 11:29

Et avec beaucoup de rigueur.

Intervenant 21:31

Avec énormément de rigueur. On s'éloigne vraiment de l'idée vague d'un visage ou d'un papillon symétrique, vous voyez ? Le terme central de l'article, ce n'est pas juste la symétrie, c'est l'isométrie.

Intervenant 11:45

L'isométrie. Le mot donne déjà un petit indice, je trouve, sur sa nature assez stricte. Du grec sine, pour le même, et métrie, la mesure. C'est tout à

Intervenant 21:56

fait ça.

Intervenant 11:57

Si on se ramène à la géométrie plane fondamentale, une isométrie c'est une transformation bijective qui conserve les distances.

Intervenant 22:06

Oui.

Intervenant 12:06

C'est à dire que je peux déplacer une figure dans l'espace de n'importe quelle manière, la tourner, la retourner, mais je n'ai aucunement le droit d'en modifier les proportions.

Intervenant 22:16

Voilà.

Intervenant 12:17

C'est un peu comme utiliser l'outil copier-coller dans un logiciel de dessin.

Intervenant 22:21

C'est une excellente analogie.

Intervenant 12:22

Pas d'étirements, pas de réductions, juste on déplace.

Intervenant 22:26

C'est le contrat de base. La métrique du plan reste totalement invariante. À partir de là, le grand défi historique pour les mathématiciens, ça a été de trouver un formalisme, une syntaxe capable de décrire toutes ces manipulations possibles.

Intervenant 12:40

Pour n'importe quel motif.

Intervenant 22:41

Pour n'importe lequel, oui. Les bases, elles ont été jetées par Alexander Murray Macbeth, puis la théorie a été affinée par un autre grand nom, William Thurston. Mais c'est le mathématicien britannique John Horton Conway qui a véritablement rendu ce langage visuel.

Intervenant 12:56

Et manipulable.

Intervenant 22:57

Et manipulables, oui, en créant ce qu'il a appelé la signature d'une figure. C'est vraiment une sorte de code génétique géométrique.

Intervenant 13:04

D'accord, alors déchiffrons ce code génétique, si vous le voulez bien.

Intervenant 23:07

Allons-y.

Intervenant 13:07

La première brique de ce langage, celle qui me parlait la plus intuitive quand on lit l'article, c'est la réflexion, le fameux effet miroir.

Intervenant 23:15

Oui, le classique.

Intervenant 13:16

Dans la notation de Conway, ça se traduit par une simple petite étoile rouge.

Intervenant 23:21

Un astérisque ?

Intervenant 13:22

Voilà, une étoile. L'étoile, elle signale qu'une ligne droite permet de superposer exactement une moitié du plan sur l'autre, comme si vous pliez votre feuille en deux.

Intervenant 23:31

D'accord.

Intervenant 13:32

Mais la notation, elle va un peu plus loin. Elle décrit comment ces miroirs interagissent entre eux. Prenons un pavage où plusieurs axes de symétrie se croisent.

Intervenant 23:41

Comme un damier.

Intervenant 13:42

Par exemple, si deux lignes de miroir se coupent en un seul point, Conway note cela étoile, deux points.

Intervenant 23:48

Étoile, le chiffre 2 et un point.

Intervenant 13:51

Exactement. L'étoile indique qu'on est dans le domaine de la réflexion. Ça, c'est la base. Le chiffre 2 précise le nombre de miroirs qui se croisent à cet endroit précis. Et le point ?

Intervenant 24:02

Le point, il indique la présence physique de ce croisement, non ?

Intervenant 14:06

Le point fixe autour duquel la symétrie s'organise.

Intervenant 24:09

C'est exactement ça.

Intervenant 14:11

C'est assez élégant comme syntaxe, je dois dire. Mais ça pose tout de suite un problème logique dans mon esprit.

Intervenant 24:16

Ah ?

Intervenant 14:17

Lequel ?

Intervenant 24:18

Eh bien, imaginons que je veuille paver mon plan avec un motif, comme le symbole du recyclage.

Intervenant 14:23

Ah oui, les trois flèches. Oui,

Intervenant 24:24

les trois flèches qui se suivent en formant un triangle. Si j'essaie d'utiliser l'outil miroir sur ce motif, je vais inverser le sens des flèches. La figure va tourner dans le mauvais sens, l'orientation n'est plus du tout respectée.

Intervenant 14:36

C'est vrai.

Intervenant 24:37

Je suis donc complètement bloqué si je n'utilise que des réflexions des étoiles.

Intervenant 14:41

Et là, vous touchez du doigt la nécessité absolue d'introduire la rotation pure, que le formalisme de Conway colorie traditionnellement en bleu d'ailleurs.

Intervenant 24:49

D'accord. Pour un motif comme ce fameux logo du recyclage, qui préserve son orientation mais ne possède aucun axe de réflexion, on abandonne l'étoile.