Théorème de Rolle : comment les approximations convergent-elles ?

Intervenant 10:00

Bienvenue dans cette nouvelle exploration, le podcast du magazine Tangente.

Intervenant 20:04

Salut tout le monde ! Oh, pardon, vas-y, je t'ai coupé.

Intervenant 10:07

Pas de souci. Donc, je disais bienvenue pour cette nouvelle plongée mathématique. Prenons une situation de la vie de tous les jours. Quelqu'un dépose, disons, 10 000 euros sur un compte en banque. Et le système informatique de la banque se met en route pour calculer le taux d'intérêt après quelques années.

Intervenant 20:24

Jusque-là, rien de bien sorcier en apparence.

Intervenant 10:27

Bah justement, ce qu'on ignore très souvent, c'est que l'équation mathématique derrière ce calcul apparemment basique, eh bien elle possède plusieurs solutions. Théoriquement, l'ordinateur pourrait tout à fait conclure que le client doit à la banque un taux d'intérêt de… de moins 300%. Ce

Intervenant 20:44

qui serait une aberration totale sur le plan financier, on est d'accord.

Intervenant 10:47

Ah, ça c'est sire. Et pourtant, l'algorithme ne se trompe jamais. Il tombe toujours sur le bon chiffre, disons 2%. Et la grande question, c'est pourquoi le système ne s'effondre-t-il pas face à ces absurdités potentielles ? C'est vraiment ce qui nous amène à notre sujet du jour.

Intervenant 21:03

Oui, et ça nous force, enfin ça nous oblige à remettre en question une idée très ancrée, tu sais, l'héritage de l'école. Ça nous donne un peu cette image d'épinal où chaque problème mathématique trouve sa conclusion dans une belle équation bien propre quoi.

Intervenant 11:16

C'est ça, on cherche le fameux X égal à la fin de la page.

Intervenant 21:21

Exactement. On imagine une solution algébrique simple, parfaite, qu'on encadre joliment. Sauf que la réalité, dès qu'on touche à l'économie ou à la finance, elle est profondément désordonnée. Les équations deviennent vite des monstres impossibles à résoudre frontalement.

Intervenant 11:35

Et donc la mission de notre décryptage aujourd'hui, c'est de regarder de près comment les mathématiciens s'en sortent quand cette solution parfaite, elle n'existe tout simplement pas. Nos sources démontrent comment des outils théoriques en apparence extrêmement abstraits, comme le théorème de Rolle et celui des accroissements finis, viennent littéralement à la rescousse de notre économie.

Intervenant 21:57

Pour dompter ce chaos.

Intervenant 11:58

C'est ça. Ok, décortiquons un peu ça. Comment est-ce qu'on abandonne cette quête de la solution exacte pour trouver quelque chose qui fonctionne réellement sur le terrain ?

Intervenant 22:06

Eh bien, en fait, on change de paradigme. Au lieu de s'obstiner à chercher la perfection du premier coup, on pratique ce qu'on appelle la méthode des approximations successives. D'accord. Prenons un problème classique. Cherchez à résoudre une équation du type f de x égale 0. Face à un mur algébrique, la stratégie consiste à contourner l'obstacle. On va transformer cette équation pour lui donner une forme équivalente qui s'écrirait x égale phi de x.

Intervenant 12:33

Attends, faisons une petite pause là-dessus pour que ce soit bien clair. En écrivant x égale phi de x, on crée une sorte de boucle, c'est bien ça ?

Intervenant 22:41

Ouais, tout à fait.

Intervenant 12:42

On cherche en fait le point d'équilibre où la fonction nous recrache exactement la valeur qu'on vient de lui donner.

Intervenant 22:47

C'est le principe de point fixe. La méthode, très concrètement, c'est une suite construite par récurrence. L'algorithme part d'une estimation de départ, une valeur totalement arbitraire qu'on va appeler x0.

Intervenant 12:58

Genre on devine au hasard, quoi.

Intervenant 22:59

C'est un peu ça. Et cette valeur, elle est injectée dans la machine, la fonction qui nous donne un nouveau résultat, X1. On prend ce X1, on le réinjecte dans la même machine pour obtenir X2, et ainsi de suite. L'espoir, en fait, l'objectif, c'est que cette chaîne d'opération nous rapproche inexorablement de la vraie solution.

Intervenant 13:17

C'est fascinant comme concept, mais ça me semble aussi incroyablement risqué, non ? Qu'est-ce qui nous prouve que cette boucle ne va pas totalement dérailler ?

Intervenant 23:25

Ah bah c'est le grand danger.

Intervenant 13:26

Parce que si on injecte une petite erreur au départ, la machine pourrait l'amplifier à chaque tour, nous donner des nombres de plus en plus gigantesques et juste faire exploser tout le calcul.

Intervenant 23:36

Le risque de divergence est complètement réel et c'est ici que l'arsenal de l'analyse mathématique intervient et plus particulièrement le théorème des accroissements finis.

Intervenant 13:45

Voilà,

Intervenant 23:47

ce théorème, c'est une extension, un corollaire du fameux théorème de Rolle. Pour le dire simplement, il nous offre une sorte de loupe pour analyser très précisément l'écart qui sépare deux étapes successives de notre calcul. Il démontre que l'erreur entre notre nouvelle estimation et l'ancienne est toujours liée à la pente de notre fonction, c'est-à-dire sa dérivée.

Intervenant 14:12

Donc on observe l'inclinaison de la courbe à cet instant précis.

Intervenant 24:16

C'est exactement ça. Et la clé de voûte de tout cet édifice repose sur une condition absolue pour que la suite ne s'emballe pas et que l'erreur se réduise à chaque itération, la valeur absolue de cette dérivée doit impérativement rester strictement inférieure à 1. Si la pente est trop raide, l'erreur s'amplifie. Mais si on parvient à prouver que la pente est plus douce, que la dérivée est majorée par un chiffre inférieur à 1, alors la mathématique nous garantit que l'algorithme va atterrir en douceur sur la bonne solution.

Intervenant 14:51

Pour essayer de matérialiser ça, ça me fait penser au réglage de la netteté sur une paire de jumelles.

Intervenant 24:56

Oh, j'aime

Intervenant 14:57

bien l'idée, vas-y !