Théorème de Pitot : le cercle derrière l’égalité

Intervenant 10:00

Bienvenue dans le podcast du magazine Tangente. Aujourd'hui, on va faire une petite plongée mathématique pour décortiquer un concept géométrique qui est à la fois très simple et d'une grande élégance.

Intervenant 20:12

C'est tiré d'un super article sur le théorème de Pitot.

Intervenant 10:15

Un théorème assez fascinant en fait.

Intervenant 20:17

Exactement. Et d'ailleurs, je me demandais d'emblée comment un ingénieur et physicien français du 18e siècle a pu lier son nom à une règle aussi épurée.

Intervenant 10:26

C'est vrai que le contraste historique est frappant. Henri Pitot, qui a vécu de 1695 à 1771, était vraiment très ancré dans le monde physique. On lui doit des choses très concrètes.

Intervenant 20:38

Comme mesurer le débit boueux de la Seine, c'est ça ? Tout à fait. Ou encore le fameux tube de Pitot. C'est un instrument qui sert encore aujourd'hui en aéronatique pour mesurer la vitesse des fluides. Mais là, son théorème, c'est une abstraction totale. Ça concerne les quadrilatères circonscriptibles.

Intervenant 10:56

Oula, les quadrilatères circonscriptibles, le grand mot RH.

Intervenant 20:59

C'est ça. Mais sous ce jargon un peu technique se cache une idée très simple. Ce sont juste des figures à quatre côtés, à l'intérieur desquelles on peut inscrire un cercle parfait.

Intervenant 11:09

D'accord. Donc pour bien clarifier l'idée, on va oublier la 3D et rester à plat. Imaginons une boîte à quatre côtés et on y glisse une bille parfaitement ajustée.

Intervenant 21:21

Ouais.

Intervenant 11:22

Une bille qui effleurerait exactement chaque paroi intérieure. Est-ce que n'importe quelle boîte géométrique permet de faire ça ?

Intervenant 21:30

Ah bah non, pas du tout. C'est une configuration qui est très stricte. Si on dessine un rectangle un peu allongé, par exemple, la bille touchera bien deux côtés au toussé, mais il y aura du vide sur les deux autres.

Intervenant 11:42

Elle va flotter au milieu, quoi.

Intervenant 21:44

Exactement ! Donc la figure est obligée de se déformer pour vraiment venir serrer le cercle de tous les côtés.

Intervenant 11:50

D'accord, je vois. Et vu que cette figure est, disons, soumise à la contrainte physique absolue de toucher le cercle partout, quelle symétrie obligatoire ça impose à sa structure ?

Intervenant 22:02

Eh bien, c'est là qu'on révèle le cœur du théorème. Dans ces figures spécifiques, la somme des longueurs de deux côtés opposés est invariablement égale à la somme des deux autres.

Intervenant 12:12

Attendez, l'équation c'est vraiment juste que le côté AB plus le côté CD, ça égale AD plus CB ? Théorème

Intervenant 22:19

de Pitot c'est exactement ça. La somme des côtés opposés s'équilibre toujours.

Intervenant 12:23

Mais c'est génial ça ! Donc si on connaît la longueur de, disons, trois côtés de cette figure contrainte, on peut déduire le quatrième mathématiquement.

Intervenant 22:32

Absolument.

Intervenant 12:33

Sans jamais avoir besoin de le mesurer.

Intervenant 22:35

Sans même y toucher, oui. La déduction est implacable. Et la démonstration, le pourquoi du comment, repose sur la propriété d'égale distance des points de tangence.

Intervenant 12:42

Alors là, il va falloir vulgariser un peu parce que ça sonne hyper théorique.

Intervenant 22:47

C'est vrai. En fait, quand un cercle est tangent à deux droites sécantes...

Intervenant 12:50

C'est-à-dire les coins de notre boîte ?

Intervenant 22:52

Voilà les coins de notre quadrilatère. Eh bien, la distance entre le sommet et les points de contact est identique de chaque côté.

Intervenant 12:57

Ah, je vois. Donc chaque coin du cadre crée une paire de petits segments de même longueur.

Intervenant 23:02

C'est juste ça. Et en faisant le tour de la figure, on additionne ces paires de manière parfaitement symétrique.

Intervenant 13:08

C'est fou.

Intervenant 23:09

Ouais. C'est une simple règle de tangence dictée par l'intérieur qui finit par imposer toute l'architecture extérieure d'un quadrilatère. C'est la beauté de la mécanique géométrique.

Intervenant 13:21

C'est hyper élégant en effet. Et ça pousse à une réflexion un peu provocatrice pour terminer. Si le théorème de Pitot prouve cet équilibre parfait en deux dimensions, avec ce cercle enfermé dans des lignes, on pourrait se demander ce qu'on découvrirait en extrapolant cette logique en trois dimensions.

Intervenant 23:40

Oui, avec une

Intervenant 13:42

sphère. Une sphère parfaitement encastrée dans un polyèdre. Est-ce que les mêmes magies additives s'appliqueraient aux surfaces de ces faces, par exemple ? De quoi laisser l'esprit vagabonder bien au-delà de notre feuille de papier.