Polygones : l’enquête sur les formes impossibles

Intervenant 10:00

Bienvenue dans le podcast du magazine Tangente. Je suis vraiment ravie de vous retrouver pour cette nouvelle plongée au cœur des mathématiques. Et aujourd'hui, on va parler d'un bestiaire rempli de créatures fantômes.

Intervenant 20:13

Salut à toutes et à tous. Ouais, des formes géométriques fantômes, c'est exactement ça. Des trucs qui marchent parfaitement sur le papier, mais que l'univers refuse de laisser exister en fait.

Intervenant 10:24

C'est fou de le dire comme ça. Parce que d'habitude, quand on parle de taxonomie, on imagine tout de suite un biologiste sur le terrain, tu vois, le scientifique qui classe les animaux en espèces, les sous-espèces, l'arbre de l'évolution, tout ça quoi.

Intervenant 20:36

Ouais, l'image du biologiste avec sa loupe dans la forêt. Mais l'analogie est super pertinente en fait. Parce que l'idée de départ, c'est la même, c'est de mettre de l'ordre. Sauf qu'en mathématiques, et surtout dans ce qu'on appelle la taxonomie polygonale, on ne classe pas des animaux.

Intervenant 10:49

Non, on classe des concepts purs.

Intervenant 20:52

C'est ça. On prend les polygones les plus simples et on va les ranger dans des cases. Et attention, on a des règles du jeu très, très strictes aujourd'hui. On regarde que deux critères et rien d'autre.

Intervenant 11:02

Ouais, j'ai vu ça dans les sources. On regarde juste les égalités des longueurs des côtés d'une part et les égalités des mesures des angles d'autre part. C'est

Intervenant 21:11

tout. C'est tout, ouais. On s'en fiche complètement de la surface totale ou du périmètre ou de la taille des diagonales. C'est du minimalisme pur et dur.

Intervenant 11:21

Et c'est justement ce qui est génial avec cette exploration pour les personnes qui nous écoutent. Ça commence comme un petit exercice de tri de formes qu'on pourrait faire à l'école primaire, enfin vraiment basique, et ça va nous mener vers un mystère mathématique qui est même pas encore résolu aujourd'hui.

Intervenant 21:36

Ah bah c'est la magie de la combinatoire. Tu pars de règles hyper simples et tu te retrouves avec une architecture de dingue. Du coup, pour bien comprendre comment ça marche, le mieux c'est de commencer par la base de la base, le polygone le plus simple.

Intervenant 11:48

Celui qui a le moins de segments pour fermer une surface ? Le triangle, évidemment.

Intervenant 21:52

Voilà, le bon vieux triangle à trois côtés. Donc, si on applique nos règles de taxonomie sur le triangle, niveau côtés, on a trois options possibles. Soit les trois côtés sont de même longueur.

Intervenant 12:03

Le triangle équilatéral, classique.

Intervenant 22:05

Exactement. Soit il n'y en a que deux de la même longueur, l'isocèle, soit aucun, le scalène. Et pour les angles, la logique est la même, c'est strictement symétrique. Trois angles égaux, deux angles égaux ou zéro.

Intervenant 12:18

Ok, donc si je croise tout ça, 3 options pour les côtés x 3 options pour les angles, on arrive à une petite grille de 3 par 3. Ça fait 9 combinaisons possibles.

Intervenant 22:30

Neuf espèces de triangles. Jusqu'ici, on navigue en terrain ultra-familier, c'est facile à visualiser.

Intervenant 12:35

Ouais mais attends, c'est là que le bab blesse. Parce que quand on lit la publication, on se rend compte que sur ces neuf cases, il y en a six qui sont des impasses totales.

Intervenant 22:44

Ah oui, la réalité frappe le modèle de plein fouet, ouais.

Intervenant 12:46

Enfin, six sur neuf qui n'existent pas, c'est énorme. C'est comme inventer la catégorie d'un chat qui aboie, tu vois. Théoriquement, je peux l'écrire sur une étiquette, chat aboyeur, mais dans la nature, ça n'existe juste pas. Comment c'est possible en géométrie ?

Intervenant 23:03

En fait, l'interdiction, elle vient de la rigidité du triangle. C'est la forme la plus verrouillée de la géométrie plane. Ses côtés et ses angles sont complètement soudés ensemble par des équations.

Intervenant 13:13

Ah, il n'y a aucune flexibilité en fait ?

Intervenant 23:15

Aucune. Si tu fixes la longueur de tes trois côtés, tes trois angles sont automatiquement bloqués. Tu ne peux plus y toucher. C'est pour ça que les ingénieurs utilisent des triangles pour construire les grues ou les ponts d'ailleurs.

Intervenant 13:26

Ouais, parce que ça ne se déforme pas, à moins de casser un morceau physiquement.

Intervenant 23:30

C'est ça. Du coup, mathématiquement, tu ne peux pas exiger d'un triangle qu'il ait par exemple trois côtés égaux, mais zéro angle égal. C'est formellement interdit par les lois d'Euclide. Si les côtés sont égaux, les angles suivent. C'est obligé.

Intervenant 13:42

D'accord, donc le triangle est prisonnier de sa propre simplicité en fait. C'est un carcan rigide, il a aucun degré de liberté.