Strophoïdes : combien de constructions pour ces courbes ?

Intervenant 10:00

Bienvenue dans cette nouvelle exploration. C'est le podcast du magazine Tangente et je suis ravi d'ouvrir cette session. Aujourd'hui, on va plonger dans une famille de courbes assez mystérieuse.

Intervenant 20:12

Oui, c'est vrai que le nom lui-même est déjà tout un programme en fait.

Intervenant 10:16

Exactement. Les strophoïdes, c'est un mot qui sonne presque comme une créature antique. L'idée aujourd'hui, c'est que quiconque écoute en ce moment puisse visualiser cette architecture fascinante, la voir se déployer dans l'espace, et ça sans avoir besoin de tracer la moindre équation sur un tableau noir.

Intervenant 20:34

Ce qui est un beau défi, parce qu'on va lier une rigueur mathématique absolue à une beauté visuelle très organique, je dirais.

Intervenant 10:44

Ouais. Bon, décortiquons un peu tout ça. D'où vient cette forme exactement et pourquoi elle a obsédé des générations entières de mathématiciens ? Donc on parle de la Grèce antique là, non ?

Intervenant 20:56

Voilà, ça remonte au grec. On pense évidemment à E.Pièce d'Elysse avec sa trisectrice ou à Dinostrate avec la quadratrice.

Intervenant 11:04

Ah oui, le principe classique d'intersection de segments mobiles.

Intervenant 21:07

C'est ça. Ces courbes n'étaient pas trouvées par hasard en fait. C'étaient de véritables machines géométriques conçues pour résoudre des problèmes impossibles avec la simple règle et le compas.

Intervenant 11:17

Comme la fameuse trisection de l'angle quoi.

Intervenant 21:19

Tout à fait, c'est l'héritage fondamental. Mais bon, pour voir émerger notre fameuse strophoïde en tant qu'objet d'étude à part entière, il faut faire un sacré bond dans le temps.

Intervenant 11:28

Ouais, c'est au XVIIe siècle qu'elle entre véritablement en scène, c'est bien ça ?

Intervenant 21:32

Exactement. L'étude spécifique de cette famille de courbes prend son essor avec des figures immenses comme Evangelista Torricelli, autour de 1644, puis Gilles de Roberval.

Intervenant 11:44

Et c'est là que l'histoire du nom devient géniale, je trouve. Parce que ça révèle comment on percevait les mathématiques à

Intervenant 21:50

l'époque. Oui, en 1645, Robert Val décide d'étudier ces courbes et il les baptise des ptéroïdes.

Intervenant 11:58

Des ptéroïdes, avec la racine grecque qui renvoie à l'aile, comme dans Ptérodactyle en fait.

Intervenant 22:03

Voilà, Robert Val regardait cette équation se déployer et il y voyait quelque chose de complètement aérodynamique. Des ailes immenses qui s'étirent vers l'infini quoi.

Intervenant 12:13

C'est fou de se dire que le contexte physique influence la géométrie. On est au début de la balistique, de l'étude des trajectoires, c'est ça ?

Intervenant 22:20

C'est exactement ça, vous voyez. Roberval est frappé par ces branches asymptotiques qui s'ouvrent et son nom d'aile, il va rester pendant presque deux siècles.

Intervenant 12:30

Jusqu'à un certain Enrico Montucci, si j'ai bien noté.

Intervenant 22:33

Oui, en 1837, ce mathématicien italien publie un ouvrage où il rebaptise cette même courbe l'astrophoïde. Ce

Intervenant 12:40

qui signifie littéralement en forme de torsade ou de nœud. Je trouve ça génial. C'est la même réalité mathématique indéniable.

Intervenant 22:47

Oui, la même équation exacte.

Intervenant 12:49

Mais au XVIIe siècle, on y voit l'envol, la projection vers l'extérieur. Et au XIXe, Montucci regarde la courbe et son œil est immédiatement attiré par le centre, par la boucle fermée, la torsade intérieure.

Intervenant 23:01

C'est une excellente analyse. Le regard du mathématicien change selon les préoccupations de son époque. On s'intéresse davantage à la topologie, aux singularités.

Intervenant 13:10

Mais du coup, qu'on l'appelle aile ou torsade, ce qui ne change pas, c'est son moteur, sa recette de fabrication, on va dire.

Intervenant 23:17

Tout à fait. Et cette mécanique interne repose sur trois éléments fondateurs. Une courbe de base qu'on appelle la directrice, un point qu'on désigne comme le pôle et un troisième élément qui est un point fixe.

Intervenant 13:31

D'accord, la scène est en place. On a notre rail, donc la directrice, notre pôle central et ce fameux point fixe. Si je dois programmer une machine pour dessiner cette strophoïde, quelle est la règle algorithmique que je lui donne ?

Intervenant 23:44

La contrainte est très stricte. Imaginons un point mobile qui se déplace le long de votre rail directrice. A chaque instant de sa course, vous tracez une droite virtuelle qui relie le pôle à ce point mobile.

Intervenant 13:56

Attendez, je visualise. Le point mobile est sur la directrice. Et je dois m'écarter de ce point le long de la droite de quelle distance exactement ?

Intervenant 24:04

C'est là qu'intervient le point fixe. L'objectif est de trouver, sur cette droite mobile, deux points spécifiques, de part et d'autre, de votre coin sur le rail. Et l'écart doit être rigoureusement égal à la distance qui sépare ce même point mobile du point fixe.

Intervenant 14:20

Ah d'accord. Donc géométriquement, ça veut dire que le point mobile, c'est le centre d'un cercle qui passe à la fois par les deux nouveaux points tracés et par le point fixe.

Intervenant 24:28

Voilà, c'est exactement ça.

Intervenant 14:30

Ah, je vois. C'est un peu comme si j'avais une sorte de bras mécanique télescopique, en fait.

Intervenant 24:35

C'est une très bonne image,

Intervenant 14:36

oui. Le pivot central de ce bras glisse sur mon rail, la directrice, et au lieu d'avoir une longueur fixe, ce bras respire. Il s'étire et se rétracte en permanence. Le capteur mesure la distance entre le pivot et le point fixe et ordonne aux extrémités de s'écarter de la même distance.