Stocks incertains : pourquoi l’optimum est une probabilité

Intervenant 10:00

Imaginez juste un instant que vous êtes boulanger.

Intervenant 20:03

D'accord.

Intervenant 10:04

C'est dimanche matin et grâce à des années d'observation, vous savez pertinemment que vous allez avoir une demande pour, disons, très exactement 100 croissants.

Intervenant 20:14

Ouais, le scénario idéal quoi.

Intervenant 10:15

C'est ça. La logique pure, enfin le bon sens, voudrait que vous prépariez exactement 100 croissants pour satisfaire tout le monde sans faire de gâchis. Pas vrai ?

Intervenant 20:24

Ce qui semble tout à fait rationnel.

Intervenant 10:25

Eh bien non, les mathématiques affirment que si vous en préparez 100, vous passez très probablement à côté d'une optimisation de vos revenus.

Intervenant 20:32

Ah oui, ça c'est le piège.

Intervenant 10:33

Bienvenue dans ce nouveau plongeant au cœur des sources, le podcast du magazine Tangente. Aujourd'hui, on s'attaque à ce qui ressemble à un simple casse-tête d'épicier, mais qui est en réalité un grand classique, le modèle du vendeur de journaux.

Intervenant 20:46

Oui, c'est un problème assez redoutable. Historiquement, on l'appelle le problème du vendeur de journaux, parce que ça résume parfaitement le drame du produit périssable.

Intervenant 10:55

Ouais, le journal d'aujourd'hui ne vaut plus rien demain.

Intervenant 20:57

Exactement. Si le vendeur achète trop de journaux à son grossistre, il finit la journée avec un stock invendable. Donc, c'est une perte

Intervenant 11:05

sèche.

Intervenant 21:06

Mais s'il n'en achète pas assez, il voit passer des clients, avec de l'argent à la main, qui sont prêts à acheter et il ne peut rien leur offrir.

Intervenant 11:14

Le fameux manque à gagner.

Intervenant 21:15

Voilà. La question centrale, ce n'est donc pas de deviner l'avenir, mais de calculer le niveau de risque optimal.

Intervenant 11:21

Et c'est ça qui est fascinant. On ne cherche pas une boule de cristal, on cherche vraiment l'équilibre du risque.

Intervenant 21:25

Tout à fait.

Intervenant 11:26

Et pour construire ce modèle, nos sources montrent qu'il faut d'abord poser un cadre temporel très strict.

Intervenant 21:31

Oui, on va parler d'un horizon de temps bien défini. Disons une journée d'ouverture. OK. Au début de cette journée, on a un stock de départ qu'on va appeler grand Q pour quantité. Logique. Et face à ce stock, on a une demande, grand R. Mais là où la modélisation devient subtile, c'est dans la distinction cruciale entre la demande et la vente. Ah oui, ça c'est un piège

Intervenant 11:53

dans lequel beaucoup tombent.

Intervenant 21:56

Oui, parce qu'on a tendance à utiliser les deux mots un peu comme des synonymes. Or, mathématiquement et même commercialement, ce sont deux réalités distinctes. La demande R, c'est la volonté d'achat sur le marché. Donc un

Intervenant 12:08

concept abstrait.

Intervenant 22:09

C'est ça. C'est une variable aléatoire qu'on ne contrôle pas du tout. La vente, en revanche, c'est la transaction réelle. Et cette vente, elle est physiquement limitée par le stock Q.

Intervenant 12:20

Le fameux concept de la barrière absorbante en zéro.

Intervenant 22:22

Exactement.

Intervenant 12:23

Concrètement, si ma demande est de 120 clients, mais que mon stock n'est que de 100, bah ma vente s'arrête à 100.

Intervenant 22:29

Oui, vous ne pouvez pas vendre ce que vous n'avez pas.

Intervenant 12:32

Mais le problème de cette barrière, enfin, si je me mets à la place du commerçant, c'est que c'est un problème de données.

Intervenant 22:37

Ah oui, totalement.

Intervenant 12:38

À la fin de la journée, ma caisse enregistreuse me dit que j'ai vendu 100 articles. Elle ne me dit absolument pas qu'il y avait 20 personnes de plus prêtes à acheter.

Intervenant 22:46

Non, le commerçant est en quelque sorte aveugle face à sa propre rupture de stock.

Intervenant 12:51

C'est fou quand on y pense.

Intervenant 22:52

C'est le cœur du problème empirique ici. Vous ne mesurez que les ventes, jamais la demande réelle. Les invendus, bon, ils sont visibles et comptabilisables.

Intervenant 13:00

Ouais, on les voit dans la vitrine.

Intervenant 23:01

Voilà. Mais la demande non satisfaite est invisible. C'est vraiment un angle mort statistique.

Intervenant 13:06

D'accord.

Intervenant 23:07

Et pour compenser cette cécité, le mathématicien va devoir s'appuyer sur une analyse des coûts, histoire de forcer le modèle à prendre en compte cette demande fantôme.

Intervenant 13:15

OK, alors construisons ce modèle de coût ensemble. Si je reprends ma boulangerie, je suppose que la première variable évidente, c'est mon coût de production.

Intervenant 23:23

Tout à fait.

Intervenant 13:24

La farine, le beurre, l'électricité pour le four. Appelons ça le petit C.

Intervenant 23:28

Très bien.

Intervenant 13:29

Ensuite, il y a le prix de vente unitaire, ce que le client me donne, le petit S. Et j'imagine qu'on doit intégrer ce qui reste à la fin, la valeur résiduelle du produit, le petit V.

Intervenant 23:38

C'est ça.

Intervenant 13:38

Genre, si je revends mes envendus de la V les moitiés prix, c'est mon V.

Intervenant 23:41

C'est un bon début, mais il manque les deux variables les plus complexes à gérer.

Intervenant 13:45

Ah bon ?

Intervenant 23:46

D'abord, il y a le coût fixe de production, le petit a. Et là, la modélisation fait un choix très fort. Elle l'ignore totalement dans le calcul de la quantité optimale.

Intervenant 13:56

Attendez, on ignore les coûts fixes ? Oui. Mais si je loue un local en plein centre-ville à un prix exorbitant, je ne peux pas l'ignorer. C'est ma plus grosse dépense.

Intervenant 24:05

Vous ne l'ignorez pas dans votre bilan comptable de fin d'année, bien sûr. Mais ici, on me délise une décision marginale. Posez-vous la question. Est-ce que le montant de votre loyer change quoi que ce soit à la décision de produire un seul croissant supplémentaire à 5 heures du matin ? Bah non. Non. Votre loyer est une charge dite « 5 costs », un coût irrécupérable déjà engagé. D'accord, je vois. Que vous produisiez 10 ou 1000 croissants, le loyer reste le même. Donc, pour savoir si la énième unité est rentable, le loyer n'entre tout simplement pas dans l'équation.

Intervenant 14:41

Vu sous cet angle, ouais, c'est implacable. La décision ne porte pas sur l'existence même de la boulangerie, mais vraiment sur l'opportunité de rajouter un produit sur la plaque de cuisson.

Intervenant 24:50

C'est l'essence même du raisonnement marginal.

Intervenant 14:52

Très bien. Et quelle est la dernière variable complexe alors, pendant ?