Pourquoi moyenne et médiane dépendent-elles de la distance ?

Intervenant 10:00

Bienvenue dans le podcast du magazine Tangente. Aujourd'hui, on va plonger dans un sujet qui franchement palpite d'énergie.

Intervenant 20:07

Ah oui, complètement. C'est un sujet fascinant.

Intervenant 10:10

Et la bienvenue à quiconque nous écoute en ce moment. Pour planter le décor, il faut remonter en 1943, en plein milieu de la Seconde Guerre mondiale. Les services de renseignement américains cherchaient désespérément à percer à jour les communications soviétiques. C'est le point de départ du fameux projet Venona. Et leur arme la plus redoutable pour y parvenir ?

Intervenant 20:30

Ce n'était pas une machine ça, c'est

Intervenant 10:32

clair. Exactement, ce n'est pas une machine gigantesque, ni un espion infiltré, mais une équation.

Intervenant 20:38

Une simple formule mathématique.

Intervenant 10:40

Voilà, une formule capable de calculer la distance, mais pas la distance entre deux villes, la distance entre deux mots, deux idées, deux probabilités.

Intervenant 20:49

C'est vertigineux quand on y pense.

Intervenant 10:50

C'est incroyable. Et c'est la mission de notre exploration d'aujourd'hui, basée sur un super article intitulé « Statistiques et probabilités revisitées ». On va prouver que derrière les chiffres un peu austères du chômage ou de la bourse,

Intervenant 21:04

ou même des simples sondages d'opinion, oui,

Intervenant 11:06

Ouais, et derrière tout ça se cachent des batailles d'espions, des lois de l'information et une structure géométrique purement hallucinante.

Intervenant 21:14

Le programme est vaste, et c'est vraiment ce qui rend cette source si pertinente pour nous aujourd'hui.

Intervenant 11:19

Absolument !

Intervenant 21:20

L'approche choisie par l'article, en fait, elle nous force à dépasser l'apprentissage hyper mécanique qu'on subit parfois à l'école. On va s'attaquer au pourquoi des choses. Le fameux

Intervenant 11:28

pourquoi, oui.

Intervenant 21:30

C'est ça. Pourquoi est-ce qu'on calcule une moyenne de telle ou telle façon ? Pourquoi la médiane existe-t-elle au fond ?

Intervenant 11:36

En

Intervenant 21:36

reliant ces outils du quotidien à des concepts spatiaux, puis en basculant vers la théorie de l'information, on découvre une véritable poésie dans la rigueur des statistiques.

Intervenant 11:47

Une poésie des statistiques, j'adore l'expression. Bon, du coup, pour bien démarrer, on va utiliser l'exercice de visualisation de l'article. Je préviens notre public, ça donne un petit peu le vertige.

Intervenant 21:57

Ah bah oui, il faut s'accrocher un peu.

Intervenant 11:59

Imaginons qu'on regarde une liste de données. Disons les notes d'une classe de 30 élèves.

Intervenant 22:03

D'accord, classique.

Intervenant 12:04

D'habitude, on lit ça ligne par ligne sur un tableau. Mais ici, on nous demande de voir ces 30 notes, non pas comme 30 points séparés, mais comme un seul et unique point de données.

Intervenant 22:14

Un seul point global, oui.

Intervenant 12:15

Qu'on va appeler le point X. Sauf que pour exister, ce point X a besoin d'un espace à 30 dimensions.

Intervenant 22:21

Et c'est là que ça coince pour nous les humains.

Intervenant 12:23

Bah oui, parce que si je visualise une pièce, de bas en haut c'est la hauteur, de gauche à droite la largeur et d'avant en arrière la profondeur. Trois dimensions, mon cerveau gère très bien.

Intervenant 22:34

C'est notre limite physique.

Intervenant 12:35

Mais 30 dimensions, c'est juste inimaginable pour un esprit humain, non ?

Intervenant 22:39

En fait, oui. Notre cerveau biologique, il bloque totalement à partir de la quatrième dimension spatiale.

Intervenant 12:45

C'est rassurant.

Intervenant 22:46

Mais l'outil mathématique, lui, s'y déploie avec une aisance déconcertante.

Intervenant 12:49

Ah ouais.

Intervenant 22:50

Pour les mathématiques, tu sais, un espace à 100 ou même à 1000 dimensions, ça possède ses propres règles de géométrie. Et elles sont tout aussi fiables que celles de notre monde physique.

Intervenant 13:00

Donc on a notre fameux point X avec ses 30 notes qui flottent dans cet hyperespace.

Intervenant 23:06

Exactement. Et l'étape suivante de notre quête géométrique, ça va être de chercher un autre point. Un point qu'on va nommer le point A, dans ce même espace à 30 dimensions.

Intervenant 13:16

D'accord. Il a quoi de spécial ce point A ?

Intervenant 23:19

La règle d'or pour ce point A, c'est que toutes ses coordonnées doivent être rigoureusement identiques. Sur tous les axes, sa valeur est la même.

Intervenant 13:26

Ah, attends.

Intervenant 23:27

Oui.

Intervenant 13:28

Si je traduis ça concrètement, ça veut dire qu'on cherche le meilleur résumé possible de notre nuage complexe.

Intervenant 23:34

C'est exactement ça.

Intervenant 13:36

Une seule valeur unique qui remplacerait toutes les autres, mais tout en restant le plus fidèle possible à la réalité de notre point X de départ.

Intervenant 23:43

C'est un point de symétrie parfaite, en fait.

Intervenant 13:45

Et j'imagine que pour trouver ce point idéal A, on doit mesurer l'écart qui le sépare de X. C'est là qu'on utilise la bonne vieille distance euclidienne.

Intervenant 23:53

La distance euclidienne, oui.

Intervenant 13:55

Le fameux trajet à vol d'oiseau, la ligne droite entre deux points qu'on apprend au collège.

Intervenant 24:00

Tout à fait. La ligne droite classique qu'on étudie depuis l'Antiquité. Le but de l'optimisation mathématique ici, ça va être de rapprocher le point A du point X autant que possible.

Intervenant 14:12

Donc de minimiser cette distance.

Intervenant 24:14

Voilà. Et plus spécifiquement, pour des raisons de confort de calcul, on cherche à minimiser le carré de cette distance euclidienne.

Intervenant 14:22

Attends, attends. Pourquoi s'encombrer d'un carré au lieu de juste prendre la distance normale ? Ça complique tout, non ?

Intervenant 24:29

Paradoxalement, non. Ça relève d'une astuce fondamentale en analyse mathématique.

Intervenant 14:34

Ah bon ?

Intervenant 24:35

Oui, la fonction de la distance simple, elle contient une énorme racine carrée globale.

Intervenant 14:40

Oula, oui, le théorème de Pythagore géant.

Intervenant 24:42

Exactement. Et ça, c'est très lourd à manipuler. Mais en élevant tout au carré, on fait sauter cette racine. Paf, disparue.

Intervenant 14:49

Ah, habile !

Intervenant 24:51

On obtient alors une fonction très lisse. Imagine une forme de cuvette ou une vallée bien arrondie.

Intervenant 14:57

Je vois très bien.

Intervenant 24:58

Et en calcul différentiel, pour trouver le point le plus bas d'une vallée lisse, on calcule sa dérivée première.

Intervenant 15:04

D'accord, donc on cherche la pente.

Intervenant 25:05

C'est ça. L'endroit exact où cette dérivée s'annule, c'est-à-dire là où la pente devient nulle et parfaitement plate, c'est notre fond de vallée. C'est le minimum géométrique absolu.

Intervenant 15:15

D'accord, la pente s'annule, la cuvette est au plus bas, l'écart est réduit au maximum.

Intervenant 25:20

Et c'est là que l'article révèle un truc de fou.

Intervenant 15:22

Oui, le résultat de ce calcul. Quand on pose cette équation d'annulation de la dérivée, le résultat géométrique qui en sort, c'est la moyenne arithmétique.

Intervenant 25:32

Eh oui, la bouclée bouclée.

Intervenant 15:33

Mais c'est dingue ! La moyenne qu'on calcule depuis l'école primaire en additionnant tout et en divisant par le nombre total, c'est pas juste une recette de cuisine.

Intervenant 25:42

Pas du tout.

Intervenant 15:43

C'est littéralement le point d'équilibre parfait dans un espace multidimensionnel.

Intervenant 25:48

L'implication est vraiment profonde, tu vois. La moyenne arithmétique, elle détient le titre officiel de point le plus proche selon la métrique eutlidienne.

Intervenant 15:56

C'est magnifique !

Intervenant 25:57

Mais la source ne s'arrête pas là. Que se passe-t-il avec ce fameux carré de la distance minimale une fois qu'on a trouvé la moyenne ?

Intervenant 16:04

Oula, je cherche...

Intervenant 26:06

Eh bien, si on calcule la surface de tous les petits carrés géométriques formés par l'écart entre chaque observation et cette moyenne, et qu'on en fait la moyenne globale... On obtient...

Intervenant 16:19

Attends, c'est la variance ?

Intervenant 26:21

Exactement, on obtient la variance. La variance, c'est tout simplement la moyenne des carrés des distances à notre fameux point d'équilibre.

Intervenant 16:29

Mais oui ! Donc la variance mesure littéralement à quel point notre donnée de base est, on va dire, éparpillée géométriquement autour du centre.

Intervenant 26:37

Cette mesure de dispersion spatiale.

Intervenant 16:39

Et si je me souviens bien de mes cours, si on prend la racine carrée de cette variance pour revenir à une échelle normale, sans les carrés, on tombe sur l'écart-type.

Intervenant 26:47

Tout à fait. L'écart-type n'est rien d'autre que ça.

Intervenant 16:50

C'est quand même fou de réaliser que des outils statistiques de base, genre ceux qu'on utilise pour analyser les salaires d'une boîte ou l'efficacité d'un vaccin, sont intimement liés au théorème de Pythagore.

Intervenant 27:00

Et aux distances à vol d'oiseau.