Proportionnalité : bien plus qu’une règle de trois

Intervenant 10:00

Bienvenue dans le podcast du magazine Tangente.

Intervenant 20:02

Bonjour à

Intervenant 10:03

tous. Avant même de dévoiler le sujet exact de notre exploration du jour, j'aimerais qu'on prenne un exemple très concret.

Intervenant 20:11

Ouais, un bon exemple visuel pour bien démarrer.

Intervenant 10:14

C'est ça. Imaginons, je sais pas moi, une entreprise qui annonce fièrement que ses bénéfices ont augmenté de 50%.

Intervenant 20:20

D'accord.

Intervenant 10:21

Et pour illustrer cette formidable nouvelle, le journal télévisé affiche un graphique avec, disons, un petit sac de pièces de monnaie. L'infographiste, en toute logique, a dessiné le nouveau sac 50% plus haut et 50% plus large que l'ancien.

Intervenant 20:36

Et là, c'est le drame.

Intervenant 10:38

Exactement. Parce qu'à l'écran, le résultat a l'air vraiment spectaculaire. Et pour cause, nos yeux nous mentent. En fait, l'image nous manipule.

Intervenant 20:46

Complètement. Parce que ce fameux nouveau sac, il ne représente pas du tout une augmentation de 50%. Il contient en réalité plus du double de l'ancien sac.

Intervenant 10:55

C'est une tromperie visuelle monumentale. Et l'outil redoutable qui se cache derrière cette illusion d'optique, c'est un concept mathématique que tout le monde croit maîtriser depuis l'école primaire, la proportionnalité.

Intervenant 21:07

C'est fascinant, parce que cette petite illustration illustre parfaitement le cœur de notre analyse d'aujourd'hui.

Intervenant 11:12

Ah oui, les sources qu'on a rassemblées sont incroyables à ce sujet.

Intervenant 21:16

Oui, notamment cet excellent article intitulé « Redécouvrir la proportionnalité ». En fait, le texte démontre que, derrière la très ennuyeuse règle de trois de notre enfance, se cache une véritable révolution géométrique.

Intervenant 11:29

Une révolution, le mot n'est pas trop fort. Le but de notre plongée dans ces documents, c'est vraiment de décortiquer comment une idée aussi simple en apparence, juste l'agrandissement d'une forme, a littéralement fracturé l'histoire des mathématiques.

Intervenant 21:44

C'est exactement ça. C'est ce mécanisme qui a provoqué de vraies crises philosophiques dans l'Antiquité, qui a forcé la découverte de nombres totalement inconcevables, et qui a fini par définir la célèbre divine proportion.

Intervenant 11:56

Alors décortiquons tout cela point par point. Car on va très vite voir que notre intuition, surtout face aux dimensions, nous joue des tours redoutables.

Intervenant 22:04

Et pas qu'un peu.

Intervenant 12:05

Revenons à notre sac de pièces de monnaie. Ou, pour faire un peu plus mathématique, prenons un simple carré dessiné sur une feuille de papier. La base de la proportionnalité, d'après nos sources, c'est ce qu'on appelle les figures semblables.

Intervenant 22:16

Les figures semblables, oui.

Intervenant 12:18

L'idée, c'est de conserver la forme exacte. Si on agrandit un carré, ça reste un carré parfait.

Intervenant 22:23

Tout à fait.

Intervenant 12:24

Et ça implique que le rapport entre les différentes parties de la figure reste figé. Il est immuable.

Intervenant 22:30

Et ce rapport immuable, c'est ce qu'on appelle en mathématiques le coefficient de proportionnalité. D'ailleurs, les anciens utilisaient un terme beaucoup plus élégant pour ça. Ils appelaient ça la raison.

Intervenant 12:40

La raison, c'est beau.

Intervenant 22:41

Ouais, c'est le multiplicateur unique en fait. Si la figure conserve sa forme, absolument toutes les longueurs de l'objet initial doivent être multipliées par cette même raison.

Intervenant 12:51

D'accord.

Intervenant 22:51

Mais le piège cognitif dans lequel tombe presque tout le monde, y complet notre pauvre infographiste du journal télévisé, c'est quand on passe d'une simple ligne à une surface. Ou pire, à un volume.

Intervenant 13:02

Et c'est là que l'article met le doigt sur le fameux piège des dimensions 10. C'est brillant. Si on reprend notre augmentation de 50%, on multiplie donc toutes les longueurs par 1,5.

Intervenant 23:12

Exact.

Intervenant 13:13

Et notre cerveau, qui est, disons-le, désespérément câblé pour penser de manière linéaire, il se dit que l'objet global est simplement 50% plus grand.

Intervenant 23:21

C'est intuitif, oui.

Intervenant 13:23

C'est très intuitif. Sauf que la réalité spatiale refuse complètement cette

Intervenant 23:27

simplicité. La mathématique est implacable là-dessus. Ce fameux coefficient, cette raison de 1,5, elle ne s'applique de façon linéaire qu'aux objets à une seule dimension.

Intervenant 13:38

Genre un fil ? Un trait ?

Intervenant 23:39

Voilà, un trait. Ou un périmètre. Mais dès que l'on s'intéresse à l'aire de la figure, c'est-à-dire l'espace qu'elle occupe sur la surface plane, en deux dimensions, le coefficient est entraîné dans une autre dimension lui aussi. Il suit le mouvement. Exactement. Il doit être élevé au carré. Donc l'air n'est pas multiplié par 1,5. Elle est multipliée par 1,5 fois 1,5. Ce qui donne 2,25.

Intervenant 14:04

Attends, attends. Laissons ça infuser une seconde pour notre auditoire.

Intervenant 24:08

Vas-y.

Intervenant 14:09

Ça signifie qu'une augmentation de 50% des longueurs entraîne une augmentation de 125% de la surface. L'objet occupe plus du double de l'espace visuel. C'est dingue.

Intervenant 24:19

Et le vertige ne s'arrête pas là.

Intervenant 14:20

Oh non !

Intervenant 24:21

Passons dans le monde réel, en trois dimensions. Si notre objet est un cube, ou notre fameux sac de pièces de monnaie, on calcule un volume. Le coefficient de 1,5 doit alors être élevé au cube.

Intervenant 14:33

Donc

Intervenant 24:37

1,5 x 1,5 x 1,5 ? C'est ça. 3,375. En augmentant simplement les longueurs de moitié, l'objet devient plus de trois fois plus volumineux.

Intervenant 14:45

Waouh. C'est fascinant de voir à quel point ça ouvre la porte à des manipulations de communication massives en fait.

Intervenant 24:53

Ah oui, complètement. Quand une publicité montre un produit soi-disant un peu plus grand, pour justifier une hausse de prix, ou qu'un politicien utilise un graphique avec des icônes de tailles différentes pour comparer des budgets,

Intervenant 15:04

On le voit tout le temps ?

Intervenant 25:05

Tout le temps. Si on ne précise pas clairement si l'augmentation concerne la longueur, la surface ou le volume, on manipule directement le cortex visuel de quiconque regarde l'image. On crée une fausse réalité géométrique.

Intervenant 15:16

C'est exactement ça. Notre cerveau peine vraiment à appréhender la croissance géométrique. Et tu sais, cette difficulté à maîtriser les proportions, ce n'est pas un problème moderne lié à la publicité.

Intervenant 25:28

Ah non ? Non, c'est l'essence même d'une crise fondatrice dans l'histoire des mathématiques. Dès l'instant où les savants de l'Antiquité ont compris que conserver les proportions était un outil surpuissant, une question terrifiante a émergé.

Intervenant 15:40

Laquelle ?

Intervenant 25:40

Comment mesurer ces rapports avec une précision absolue ?

Intervenant 15:44

À la mesure. Et d'ailleurs, la lecture de nos sources à ce sujet, ça ressemble presque à un thriller philosophique.

Intervenant 25:51

Ouais, il y a de ça.

Intervenant 15:52

À l'époque, les mathématiciens grecs, et je pense notamment à l'école de Pythagore, ils avaient une vision presque mystique de l'univers. Pour eux, tout était ordonné, tout était pur.

Intervenant 26:02

La perfection géométrique absolue.

Intervenant 16:04

Voilà. L'harmonie du cosmos entier devait pouvoir s'exprimer avec des nombres entiers ou, tout au plus, des fractions simples, genre un demi ou trois quarts. C'est le fameux concept du

Intervenant 26:14

commensurable. Le commensurable,

Intervenant 16:17

oui. C'est l'idée rassurante qu'il existe toujours en fait une sorte de petite brique de Lego de base, une unité de mesure commune qui va rentrer un nombre parfait de fois dans n'importe quelle longueur.

Intervenant 26:29

Sauf que la géométrie est venue complètement pulvériser cet utopie des nombres entiers. Et comment ? C'est justement en étudiant les proportions au sein de figures parfaitement semblables que le drame s'est noué.

Intervenant 16:42

L'étude des proportions a forcé la main des mathématiciens.

Intervenant 26:44

Elle les a mis face au

Intervenant 16:45

mur. Oui, elle les a contraints à regarder en face ce qu'ils redoutaient le plus au monde, les nombres irrationnels. Prenons la forme la plus équilibrée, la plus rassurante qui soit. Le carré.

Intervenant 26:55

Ok, le carré.