Proportions : le lien inattendu de Thalès à Pappus

Intervenant 10:00

Bienvenue dans le podcast du magazine Tangente. Je suis vraiment ravie de vous retrouver pour cette nouvelle plongée au cœur des mathématiques.

Intervenant 20:09

Bonjour, ravi d'être là comme toujours. Et je crois qu'aujourd'hui, on a un programme plutôt chargé.

Intervenant 10:15

Oh oui, très chargé et surtout fascinant. Alors, notre mission aujourd'hui, pour ceux qui nous écoutent, c'est de décortiquer en concept fondamental. On va se baser sur un article génial qui s'intitule « Les enfants de Thalès ». Et c'est vrai que quand on entend le mot « proportionnalité », on pense tout de suite à des trucs très administratifs.

Intervenant 20:35

Oui c'est ça, un scrutin proportionnel, des impôts calculés sur le revenu, enfin ce genre de choses.

Intervenant 10:40

Exactement, mais la vérité qu'on va mettre en lumière au cours de cette exploration, c'est que la proportionnalité, c'est en fait ni plus ni moins que le code source, l'ADN secret qui régisse l'espace géométrique tout entier.

Intervenant 20:54

C'est là toute la puissance du concept en fait. Ce qui frappe vraiment quand on étudie ce sujet, c'est le contraste, un contraste saisissant entre la simplicité de l'outil de base et la complexité de ce qu'il permet de bâtir.

Intervenant 11:06

Quand vous parlez d'outils de base, on parle bien d'une simple égalité de rapport, c'est bien ça ?

Intervenant 21:11

Absolument. C'est juste le fait que deux fractions soient équivalentes. Sans cette notion très basique, les immenses monuments intellectuels laissés par des figures comme Thalès, Ptolémée ou Pappus n'auraient jamais pu exister, tout simplement.

Intervenant 11:25

C'est fou quand on y pense.

Intervenant 21:26

Oui, si on creuve un peu, on s'aperçoit vite que l'égalité de rapport, c'est vraiment le pilier central de l'édifice mathématique. Sans elle, la géométrie telle qu'on la connaît, avec ses règles d'alignement, ses figures symétriques, eh bien elle s'effondrerait sur elle-même.

Intervenant 11:39

Alors, pour bien faire comprendre ça à notre auditoire, il faut qu'on quitte un instant nos représentations modernes. Il faut faire un grand bond en arrière.

Intervenant 21:46

On part en voyage, du coup ?

Intervenant 11:48

Voilà. Transportons-nous mentalement au VIe siècle avant notre ère, sous le soleil écrasant de l'Égypte antique. C'est là qu'on trouve une scène vraiment fondatrice.

Intervenant 21:57

La fameuse légende de la pyramide ? C'est ça.

Intervenant 12:00

Face à l'impossibilité physique de grimper le long d'une pyramide lisse avec un cordeau de mesure, la légende raconte que le mathématicien grec Thalès a eu une fulgurance. Il a juste planté un simple bâton dans le sable.

Intervenant 22:14

Un coup de génie franchement !

Intervenant 12:15

Mais totalement ! Et en comparant la longueur de l'ombre de son bâton avec l'ombre gigantesque de la pyramide, il a pu déduire la hauteur de l'édifice. Il venait d'exploiter de façon très empirique la proportionnalité.

Intervenant 22:27

Alors oui, cette scène empirique est très ancrée dans notre imaginaire collectif. Mais la rigueur historique nous oblige quand même à nuancer un peu ce récit.

Intervenant 12:37

Ah, ce n'est pas tout

Intervenant 22:38

à

Intervenant 12:38

fait vrai.

Intervenant 22:38

Disons que si Thalès a effectivement pu utiliser cette astuce sur le terrain, la toute première démonstration formelle et incontestable de ce principe géométrique ne date pas de son époque à lui. Attendez, il a fallu attendre combien de temps ? Il faut avancer 300 ans. On arrive au IIIe siècle avant notre ère pour voir ce théorème couché sur un parchemin de manière implacable. Et on le trouve où ? Dans les éléments d'Euclide.

Intervenant 13:02

Ah oui, l'ouvrage incontournable.

Intervenant 23:04

Sans doute le livre mathématique le plus influent de tous les temps. C'est très précisément à la proposition 2 de son livre 6. C'est Euclide qui fournit la véritable preuve logique. Il passe d'une observation visuelle dans le sable à une vérité mathématique universelle, abstraite, démontrable.

Intervenant 13:22

D'accord. Donc l'observation pratique laisse vraiment place à la formalisation théorique. Et cette théorie, au-delà de juste croiser des droites parallèles qui coupent des séquentes, elle nous amène vers une idée visuelle très forte. Les fameux triangles semblables.

Intervenant 23:36

Exactement. C'est l'évolution mécanique du théorème de Thalès, en fait. Une fois qu'on admet que des segments de lignes peuvent partager les mêmes proportions, on réalise que des figures entières, des figures fermées, peuvent faire de même.

Intervenant 13:48

Et c'est ça qui donne naissance aux triangles semblables.

Intervenant 23:51

Voilà. Techniquement, pour l'auditoire, ce sont des triangles dont les côtés sont proportionnels, deux à deux, et dont les angles sont rigoureusement identiques. Ils sont le moteur silencieux d'une quantité phénoménale de démonstrations en géométrie.

Intervenant 14:06

Pour bien visualiser ce que sont ces triangles semblables, je trouve qu'une bonne analogie, c'est de penser à l'écran de nos téléphones portables.

Intervenant 24:12

Ah, le zoom numérique.

Intervenant 14:14

Oui, c'est ça. Quand on affiche une photo sur son téléphone et qu'on pense l'écran avec deux doigts pour zoomer, l'image grandit considérablement. Ses dimensions absolues changent.

Intervenant 24:24

Mais la structure reste

Intervenant 14:25

la même ? Absolument. La structure du lisage ou du paysage n'est pas déformée. Un nez ne devient pas soudainement plus long par rapport à la distance des yeux, par exemple. L'information structurelle est conservée à 100%, peu importe l'échelle.

Intervenant 24:38

C'est très juste.

Intervenant 14:38

Et un triangle semblable, le fond, c'est simplement notre triangle de départ qu'on aurait agrandi ou rétréci sur un écran virtuel, en gardant toute son essence intacte.

Intervenant 24:47

C'est une excellente façon de se le représenter. Cette analogie du zoom met bien en évidence la conservation absolue de l'information. Et c'est précisément parce que cette information est conservée que l'astronome Claude Ptolémée a pu accomplir un exploit conceptuel fascinant.

Intervenant 15:03

On fait encore un bond dans le temps, là ?

Intervenant 25:04

Oui, au deuxième siècle de notre ère. Ptolémée travaillait sur la cartographie du ciel étoilé, ce qu'il a synthétisé dans son ouvrage majeur, l'Almageste. Et pour comprendre les trajectoires célestes, il avait besoin d'outils géométriques redoutables.

Intervenant 15:19

Donc il s'est servi de nos fameux triangles zoomés.

Intervenant 25:22

Tout à fait. Il a utilisé ces simples triangles proportionnels pour faire le pont entre la rigidité de la ligne droite et la perfection de la courbe. Il a réussi à définir le cercle avec ça.

Intervenant 15:34

Attendez, attendez. C'est là que la géométrie devient complètement contre-intuitive pour moi. On utilise des triangles qui ont des arêtes droites et des angles pointus pour prouver l'existence d'une figure ronde qui n'a ni ligne droite ni angle. Comment ça marche en pratique ?

Intervenant 25:49

Je comprends que ça paraisse magique. L'astuce de Ptolémée, c'est de chercher ce qu'on appelle une condition de co-cyclicité. Oula, un grand mot ! Oui, mais pour le dire simplement, il voulait savoir à quel moment exact quatre points quelconques, disons A, B, C et D, sont obligatoirement posés sur le pourtour parfait d'un seul et même cercle.

Intervenant 16:08

D'accord.

Intervenant 26:09

Et en imbriquant astucieusement deux paires de triangles semblables entre ces quatre points, il a établi une règle définitive. Visualisons la scène géométriquement.

Intervenant 16:18

On imagine un quadrilatère.

Intervenant 26:19

Voilà, une forme à quatre côtés, avec nos quatre points, et on trace ces deux grandes diagonales intérieures, qui se croisent en X au milieu. Ptolémée affirme que ce quadrilatère s'inscrit parfaitement dans un cercle, si et seulement si une condition mathématique précise est remplie.

Intervenant 16:36

Laquelle ?

Intervenant 26:37

Si la multiplication de la longueur de ces deux diagonales correspond très exactement à la somme des multiplications des côtés opposés.

Intervenant 16:44

Au décor.

Intervenant 26:45

Si on l'écrit avec nos lettres, ça donne AC, la distance AC, multipliée par BD, est égale à AB fois CD plus BC fois AD.

Intervenant 16:56

Je vois.