Quel lien entre le mathématicien Hilbert et la voiture autonome ?

Intervenant 10:00

Bienvenue dans le podcast du magazine Tangente et bienvenue à tous nos auditeurs.

Intervenant 20:04

Bonjour à tous.

Intervenant 10:05

Que vous soyez de simples curieux ou de vrais passionnés de mathématiques, on est ravis de vous avoir. Alors, on va entrer tout de suite dans le vif du sujet. Imaginez que vous roulez à 20 km par heure.

Intervenant 20:16

Ce qui est en gros l'allure d'un vélo un peu rapide.

Intervenant 10:19

Voilà, c'est ça, pas très vite. Mais à cette vitesse, une voiture a quand même besoin d'environ 9 mètres pour s'arrêter complètement, surtout sur une route un peu humide.

Intervenant 20:27

Oui, tout à fait.

Intervenant 10:28

Et face à un imprévu, le cerveau électronique d'une voiture autonome, il dispose de quoi ? D'environ une milliseconde pour décider de freiner ou de tourner.

Intervenant 20:37

C'est extrêmement

Intervenant 10:38

court. Et donc, dans notre décryptage d'aujourd'hui, on va se baser sur un article vraiment fascinant Qui s'intitule « Voiture autonome et 17ème problème de Hilbert ». Et on va voir ensemble comment ces véhicules évitent les collisions. Parce que, enfin, quand on pense voiture autonome, on imagine tout de suite des lasers, des radars.

Intervenant 20:59

Des ordinateurs qui scannent tout en 3D, oui.

Intervenant 11:00

Exactement. Mais en réalité, le vrai copilote invisible, celui qui valide la décision finale, c'est un vieux casse-tête mathématique.

Intervenant 21:10

Et c'est vraiment là qu'il faut dissiper une illusion très courante. On a un peu tendance à croire que le miracle de la voiture autonome repose juste sur la puissance de calcul brut.

Intervenant 11:19

Ouais, le matériel, les capteurs.

Intervenant 21:21

Voilà, alors la technologie matérielle est primordiale, évidemment, mais elle serait totalement aveugle sans le socle théorique qui est derrière.

Intervenant 11:28

Bien sûr.

Intervenant 21:29

Ce qu'on explore aujourd'hui, c'est la façon dont des mathématiques classiques, qui ont été pensées au 19e et 20e siècle, fusionnent avec les mathématiques informatiques modernes.

Intervenant 11:40

D'accord.

Intervenant 21:41

Des idées qui étaient purement abstraites, théorisées bien avant même l'invention de l'ordinateur, aujourd'hui, elles dictent la trajectoire d'un engin de deux tonnes en pleine rue.

Intervenant 11:49

C'est fou quand on y pense. Et pour comprendre ce lien, il faut d'abord qu'on fasse un petit saut dans le temps. Donc, on se retrouve à Paris en l'an 1900.

Intervenant 21:57

Oh, une belle époque pour les maths.

Intervenant 11:58

Ah oui, c'est le deuxième congrès international des mathématiciens. Et là, le grand David Hilbert, un mathématicien allemand, monte à la tribune. Et il présente une liste de 23 problèmes majeurs.

Intervenant 22:08

C'est ça, la fameuse liste de Hilbert.

Intervenant 12:10

Voilà. Et ces problèmes, ils vont vraiment servir de feuille de route pour la recherche de tout le XXe siècle. Et dedans, il y en a un qui nous intéresse tout particulièrement aujourd'hui, c'est le 17e problème.

Intervenant 22:23

Alors, l'énoncé de ce 17e problème, il peut paraître un peu sec au premier abord.

Intervenant 12:28

Un peu,

Intervenant 22:28

oui. Hilbert pose la question suivante. Il dit « Toute fonction rationnelle ne prenant que des valeurs positives est-elle une somme de carrés de fonctions rationnelles ? »

Intervenant 12:38

Alors, attendez, je vous arrête tout de suite.

Intervenant 22:39

Oui, si vous me

Intervenant 12:40

doutez. Parce que là, la formulation, il faut qu'on l'éclaircisse un peu. Reprenons la base. Une fonction rationnelle, concrètement, qu'est-ce que c'est ?

Intervenant 22:48

Parce que l'article rappelle que c'est une expression qui n'utilise que les opérations élémentaires.

Intervenant 12:52

Exactement. L'addition, la soustraction, la multiplication et la division.

Intervenant 22:57

D'accord, donc pas de truc compliqué. Non, voilà, pas de racine carrée, pas de sinus ou de logarithme, juste la base appliquée à des variables. D'ailleurs, l'article donne un bon exemple.

Intervenant 13:09

Vas-y.

Intervenant 23:10

Prenez au numérateur 3x plus 7 moins 1 et vous divisez ça par x au carré moins 3x plus 1. D'accord. Eh bien, c'est une fonction rationnelle très classique. Et le cœur du problème de Hilbert, c'est de savoir si, quand cette fonction ne produit jamais de résultats négatifs, est-ce qu'on peut systématiquement la réécrire comme une somme de carrés ?

Intervenant 13:32

Et c'est là que je veux qu'on s'arrête une seconde parce que c'est vraiment le point de bascule de notre décryptage.

Intervenant 23:37

Absolument.

Intervenant 13:37

Pourquoi est-ce que David Hilbert et tous les autres mathématiciens avec lui faisaient une telle fixation sur cette histoire de somme de carrés ? Je vais essayer de vulgariser le truc.

Intervenant 23:46

Allez-y.

Intervenant 13:47

Si j'ai une formule mathématique très complexe, avec plein de variables, et que je veux prouver, sans l'ombre d'un doute, qu'elle ne donne jamais un résultat en dessous de zéro.

Intervenant 23:56

C'est un cauchemar à vérifier.

Intervenant 13:58

C'est ça. Théoriquement, je devrais tester tous les nombres possibles jusqu'à l'infini pour en être sûr, non ? Ce

Intervenant 24:04

qui est rigoureusement impossible, même pour le plus gros ordinateur du monde. Vous ne pouvez pas tester une infinité de points.

Intervenant 14:10

Voilà. Mais par contre, si j'arrive à manipuler cette grosse équation pour prouver qu'elle est en fait égale à a² plus b² plus c²…

Intervenant 24:20

Là, le problème disparaît complètement.

Intervenant 14:21

Bah oui, parce que n'importe quel nombre réel multiplié par lui-même, donc mis au carré, ça donne un résultat positif. Toujours. Donc une somme de carrés, elle est forcément positive. On a la garantie absolue sans avoir besoin de tester quoi que ce soit.

Intervenant 24:35

Et c'est là toute la puissance de ce problème. On passe d'une vérification empirique, qui est impossible, à une certitude algébrique absolue.