Quand un contour peut-il paver le plan ? Le critère de Conway

Intervenant 10:00

Bienvenue dans le podcast du magazine Tangente. Aujourd'hui, on va parler d'un concept géométrique assez fou. Imaginez que vous deviez refaire le carrelage de votre salle de bain.

Intervenant 20:10

D'accord.

Intervenant 10:11

Mais au lieu d'utiliser des carrés parfaits, bien lisses, on vous oblige à poser des tuiles qui ressemblent à des massinformes. Des trucs complètement fondus et chaotiques.

Intervenant 20:20

Ah oui, ça a l'air d'être un cauchemar à poser

Intervenant 10:22

ça. C'est clair, ça semble même carrément impossible à assembler sans laisser de trou, non ? Et pourtant en fait, les mathématiques nous disent que c'est tout à fait réalisable. À condition bien sûr de connaître une règle un peu secrète.

Intervenant 20:34

Et cette règle, elle nous vient d'un article vraiment fascinant de la bibliothèque Tangente, numéro 64, un numéro de 2018 qui s'appelle « Découpage et pavage ». Et on y aborde le fameux critère de Conway.

Intervenant 10:47

Le

Intervenant 20:49

mathématicien John Conway, c'est ça ? C'est ça. Conway a littéralement trouvé la recette. Une recette pour garantir qu'une forme géométrique, même si elle est totalement biscornue, puisse paver une surface à l'infini.

Intervenant 11:00

Ok, alors décortiquons tout ça, parce que c'est super intriguant. Avant de parler de cette recette concrète, il y a un terme dans l'article sur lequel j'aimerais vraiment qu'on s'arrête. Parce que ça change toute la perspective de la chose.

Intervenant 21:11

Allez-y, je vous

Intervenant 11:12

écoute. Le texte dit que le critère de Conway, c'est une condition qui est suffisante, mais pas nécessaire.

Intervenant 21:18

Oui, c'est une nuance très importante en maths.

Intervenant 11:20

Voilà, et le texte parle aussi de polygone curviligne. C'est un peu paradoxal, non ? Au final, ça ressemble beaucoup plus à une pièce de puzzle biscornu qu'un banal carrelage carré, quoi.

Intervenant 21:31

Tout à fait, c'est une bonne analogie.

Intervenant 11:32

Mais du coup, sur cette histoire de conditions, si je veux découper ma propre tuile chaotique dans un morceau de bois, ça veut dire que je ne suis pas obligée de suivre cette règle. Mais que si je le fais, je suis sûre à 100% que mon carrelage fonctionnera. C'est bien ça la différence entre suffisant et nécessaire.

Intervenant 21:51

Exactement, c'est parfaitement résumé. C'est ça, l'idée d'une condition suffisante. C'est un plan de construction qui est garanti sur facture, on va

Intervenant 11:58

dire. D'accord.

Intervenant 21:59

Il existe effectivement d'autres formes géométriques, très étranges, qui ignorent totalement le critère de Conway et qui parviennent quand même à paver le plan sans laisser de vide.

Intervenant 12:09

Ah

Intervenant 22:09

ouais ? Oui. Mais la méthode de Conway, en fait, c'est le passe-droit absolu. C'est votre billet d'entrée assuré pour le club d'épavage parfait. Si la pièce respecte la règle, elle pave le plan à coup sûr.

Intervenant 12:19

Ok, je comprends bien le principe en théorie. Mais si je suis genre concrètement dans mon atelier, là, avec ma planche de bois et ma scie, qu'est-ce que je dois mesurer au juste ?

Intervenant 22:31

Alors, Siner, c'est là qu'on rentre dans la recette.

Intervenant 12:34

Ouais, parce que l'article parle de placer six points sur le contour de la pièce pour délimiter les bords, avec des lettres allant de A à F, dont au moins trois points doivent être distincts. Et là, ça devient vite très abstrait à visualiser pour moi.

Intervenant 22:48

C'est vrai que lu comme ça, ça peut faire peur. Mais oublions les lettres A, B, C un instant, d'accord ?

Intervenant 12:55

D'accord, je veux bien.

Intervenant 22:56

Visualisons simplement la tuile physiquement. Prenez deux côtés opposés de votre tuile, disons le haut et le bas.

Intervenant 13:03

Ok, j'ai le haut et le bas en tête.

Intervenant 23:05

La règle, elle stipule que ces deux portions, elles doivent être parfaitement identiques. C'est comme si vous aviez simplement fait glisser la ligne du haut directement vers le bas, par une translation quoi.

Intervenant 13:18

Ah ok, donc si je dessine une grosse vague très irrégulière en haut, je trace la même vague en bas.

Intervenant 23:24

Voilà, exactement.

Intervenant 13:25

Bon, faire glisser le haut vers le bas, c'est logique pour que les pièces s'emboîtent au-dessus et en dessous. Mais qu'en est-il des autres bords ? Ceux sur les côtés ?

Intervenant 23:35

Alors c'est là que ça devient vraiment intéressant.

Intervenant 13:37

Oui, parce que le texte mentionne que ces quatre autres portions, donc les côtés restants, ils doivent posséder un centre de symétrie. Et ça, même si ce sont des courbes super complexes ou des réunions de segments dingues. Oui. Mais... Attendez, si les bords sont aussi chaotiques, la seule façon pour qu'ils s'emboîtent sans laisser de vide avec les autres pièces, c'est que ce chaos soit le parfait reflet de lui-même. C'est un peu comme si on faisait tourner le bord autour d'une punaise.

Intervenant 24:05

Mais c'est exactement ça ! Vous venez de mettre le doigt sur le mécanisme central du truc ! Ce qui est fascinant ici, c'est que sur ces bords latéraux, vous plantez virtuellement une punaise au plein milieu du segment. Et là, vous pouvez dessiner la courbe le plus folle et alambiquée possible pour la première moitié de ce bord. Et ensuite, il vous suffit de faire pivoter cette même courbe à 180 degrés autour de la fameuse punaise. Et ça dessine la seconde moitié du bord.

Intervenant 14:31

Mais du coup, l'assemblage de toutes ces pièces, ça ne devient pas un cauchemar géométrique monumental ?

Intervenant 24:36

Eh bien non, et c'est ça le génie du truc. Le dénouement, c'est que malgré ces bords hyper alambiqués, le pavage final, il se réalise avec une simplicité vraiment déconcertante.

Intervenant 14:48

Parce que la courbe a été construite en pivotant, c'est ça ?

Intervenant 24:50

Voilà. Puisque vous l'avez construite autour de ce point central, si vous prenez une deuxième tuile identique et que vous la retournez, les courbes vont s'emboîter parfaitement.

Intervenant 15:00

Comme une clé dans sa serrure.

Intervenant 25:02

Exactement. En fait, le mécanisme est d'une pureté redoutable. Le pavage infini ne demande que d'utiliser de simples translations ou des rotations à 180°. Le critère verrouille toute la forme autour de ces simples points de pivot.

Intervenant 15:16

Waouh, c'est vraiment une sorte de chaos contrôlé en fait. On réalise qu'une complexité visuelle infinie, elle peut naître d'une règle de répétition super simple.

Intervenant 25:26

Oui, c'est très élégant.

Intervenant 15:27

Et c'est ce qui rend ça tellement pertinent pour nous, auditeurs. Cette rigueur mathématique, c'est exactement la structure invisible qui se cache derrière l'harmonie des sols anciens, des mosaïques envoûtantes ou même du design moderne qui nous entoure tous les jours.

Intervenant 25:42

Totalement. Ça prouve que, sous des apparences très complexes et asymétriques, notre univers obéit bien souvent à des principes d'une économie de moyens qui est juste immense. Une simple glissade, quelques points de pivot et voilà, l'infini est entièrement couvert.

Intervenant 15:58

Ce qui soulève une dernière question d'ailleurs, et je la trouve assez vertigineuse pour cloire ce sujet.

Intervenant 26:03

Ah oui, laquelle ?

Intervenant 16:04

Eh bien, si le simple fait de glisser et de pivoter autour de quelques points, ça suffit à verrouiller parfaitement un plan plat infini en deux dimensions, que se passerait-il si on tentait d'appliquer cette même logique de symétrie, non plus à un plan, mais à des volumes en trois dimensions ?

Intervenant 36:22

Oh, waouh !

Intervenant 16:24

Ouais. Pourrait-on sculpter, genre, une brique spatiale ultime capable de s'emboîter en pivotant pour remplir absolument chaque recoin du vide de notre univers tout entier ? On vous laisse méditer là-dessus.