Erreurs numériques : quand un petit écart fausse le résultat

Intervenant 10:00

Bienvenue à toutes et à tous dans le podcast du magazine Tangente. Alors, on imagine toujours les mathématiques, et particulièrement quand elles sont couplées à la puissance de nos ordinateurs, comme une espèce de forteresse imprenable de vérité pure.

Intervenant 20:16

Ah oui, c'est presque un dogme aujourd'hui.

Intervenant 10:18

Bah oui, on se dit que si la machine a fait le calcul, c'est que le résultat est d'une perfection absolue, totalement cristalline. Mais il faut se préparer à un véritable choc logique pour cette session.

Intervenant 20:30

Un gros choc même.

Intervenant 10:32

Exactement. Parce qu'en réalité, il est physiquement, fondamentalement et mathématiquement impossible de faire du calcul scientifique sans commettre d'erreur. La perfection numérique complète, en fait, c'est une illusion totale.

Intervenant 20:46

C'est un constat qui peut, c'est vrai, donner des sueurs fraudes à quiconque fait aveuglément confiance aux algorithmes qui gèrent notre monde moderne. Mais attention, l'objectif de notre exploration d'aujourd'hui, c'est absolument pas de plonger notre audience dans un profond désespoir technologique.

Intervenant 11:01

Ouf ! Me voilà rassurée et l'audience aussi j'espère.

Intervenant 21:05

Voilà, l'idée c'est plutôt de révéler un art scientifique fascinant, presque un art secret disons. C'est l'art d'estimer, de traquer, de contrôler ses erreurs qui sont de toute façon inévitables. Et tout ça pour réussir au final à rendre les résultats fiables. Au lieu d'ignorer le chaos, les scientifiques apprennent à le dompter.

Intervenant 11:21

C'est ce grand paradoxe qu'on va décortiquer ensemble. La mission aujourd'hui, c'est de déconstruire vraiment de A à Z les trois grandes sources d'erreurs qui gangrènent ou qui pimentent, selon le point de vue, tous les calculs scientifiques modernes.

Intervenant 21:34

Et c'est un vrai thriller intellectuel !

Intervenant 11:37

Ah totalement ! On va observer comment ces erreurs naissent, comment elles grandissent en silence dans les lignes de code.

Intervenant 21:43

Et par où est-ce qu'on commence du coup ?

Intervenant 11:45

Eh bien, commençons par la balle, la première source d'erreur.

Intervenant 21:49

D'accord. Alors, la première source d'erreur est peut-être la plus concrète parce qu'elle vient directement du monde réel. C'est ce qu'on appelle les erreurs sur les données initiales. En fait, avant même que la moindre équation soit résolue par un processeur, il faut bien lui donner des chiffres à digérer.

Intervenant 12:03

Des chiffres qui proviennent de la métrologie, donc des mesures physiques.

Intervenant 22:07

Exactement. Sauf qu'aucune règle, aucun thermomètre ultra sensible, aucun laser n'est infiniment précis. Il y a toujours un bruit de fond, une limite matérielle. Donc les données de départ, elles ne sont jamais, au grand jamais, parfaites.

Intervenant 12:22

Bon jusque là, ça paraît logique. Je veux dire, si on mesure une poutre en acier pour construire un viaduc, on peut se tromper d'un dixième de millimètre. On se dit que c'est pas dramatique. Une toute petite imprécision à l'entrée du calcul, ça devrait logiquement donner une toute petite imprécision à la sortie.

Intervenant 22:38

Et c'est précisément là que l'intuition nous trompe lourdement.

Intervenant 12:42

Ah bon ?

Intervenant 22:42

C'est notre premier grand rebondissement mathématique. Il existe toute une catégorie de situations que les mathématiciens appellent des problèmes mal conditionnés.

Intervenant 12:51

Mal conditionnés, d'accord. C'est-à-dire ?

Intervenant 22:53

Pour bien comprendre le piège, prenons un exemple très concret issu de l'algèbre. Imaginons un système avec deux petites équations toutes simples. La première, c'est 13x plus 21y égale 34. Ok, 13x plus 21y égale 34, je note.

Intervenant 13:06

Et la deuxième équation, 21x plus 34y égale 55. D'accord, un grand classique. On cherche les valeurs de X et Y qui fonctionnent pour ces deux conditions en même temps.

Intervenant 23:25

C'est ça. Et dans ce cas précis, la solution exacte, elle est limpide. X vaut 1 et Y vaut 1.

Intervenant 13:33

13 plus 21, ça fait bien 34. Tout s'équilibre parfaitement.

Intervenant 23:37

Voilà. Mais imaginons maintenant que ces chiffres 34 et 55 proviennent de nos fameux capteurs physiques dont on parlait.

Intervenant 13:45

Et qu'ils soient légèrement faux, du coup.

Intervenant 23:47

Exactement. Mettons que notre capteur ait un micro-ok lors de la mesure. Au lieu de lire 34, il lit 34,1. Et au lieu de 55, il lit 54,9.

Intervenant 13:57

Attendez, on parle d'une modification d'à peine 3 pour 1000. C'est microscopique. N'importe quel ingénieur serait ravi d'avoir une mesure avec une marge d'erreur aussi infime.

Intervenant 24:08

Pourtant, c'est la catastrophe absolue.

Intervenant 14:10

Sérieux ?

Intervenant 24:11

Oui. Avec cette minuscule altération d'une fraction de pourcent, la solution de notre système explose totalement. La nouvelle réponse exacte ne tourne plus du tout autour de 1. X devient soudainement 6,5.

Intervenant 14:23

Pardon ? On passe d'un résultat de 1 à plus de 6 ?

Intervenant 24:27

C'est ça. Et Y plonge carrément dans le négatif pour atteindre moins 2,4.

Intervenant 14:31

Waouh ! C'est une erreur de plus de 500% sur la solution finale, juste parce qu'on a égratigné un chiffre au départ.

Intervenant 24:38

C'est toute la cruauté de ces fameux problèmes mal conditionnés. Et le pire, c'est que le comportement est complètement chaotique.

Intervenant 14:43

Ah, parce que ça peut être encore pire.

Intervenant 24:45

Oh que oui ! Si on fait une autre modification infime, par exemple sur les coefficients multiplicateurs, si on passe de 13 à 12,95 et de 21 à 21,05… Donc juste quelques centièmes de différence.