Quand l’aire sous l’hyperbole devient un logarithme

Intervenant 10:00

Bienvenue dans cette nouvelle exploration, le podcast du magazine Tangente. Je suis vraiment ravie de retrouver tous ceux qui nous écoutent aujourd'hui pour une plongée assez exceptionnelle.

Intervenant 20:12

Salut ! Oui, c'est un très beau sujet qu'on va aborder.

Intervenant 10:15

Et on va s'appuyer sur un article fascinant qui est paru dans Tangente et qui s'intitule « Un logarithme sous l'hyperbole ».

Intervenant 20:22

Un titre qui pose déjà pas mal de questions.

Intervenant 10:25

Complètement. En fait, la mission de notre plongée aujourd'hui, c'est de comprendre comment les logarithmes ont évolué. Parce qu'ils ont été inventés au départ par Napier, dans un but, on va dire, purement comptable. Et ils se sont révélés être une clé fondamentale de la géométrie et de l'analyse mathématique.

Intervenant 20:41

C'est un retournement de situation historique. On part d'un outil de calcul basique pour atterrir sur les lois de l'univers.

Intervenant 10:48

Exactement. Et je trouve ça génial. Alors, pour bien comprendre comment c'est arrivé, je te propose qu'on remonte le temps. On part dans l'Europe du début du 17e siècle.

Intervenant 21:00

Ça marche. Alors, à cette époque, l'Europe scientifique est vraiment en pleine ébullition. On a des savants qui s'échangent des lettres dans tous les sens. C'était un peu l'Internet

Intervenant 11:09

de

Intervenant 21:10

l'époque, quoi. Ben oui, voilà. Et il y a un homme en particulier qui s'appelle Marin Mersenne, qui joue un peu le rôle de grand coordinateur de ce réseau. Et Mersenne met sur la table un problème très précis. Il dit à tout le monde qu'il est crucial de trouver la quadrature de l'hyperbole.

Intervenant 11:25

La quadrature de l’hyperbole. Le terme est magnifique, mais qu'est-ce que ça veut dire concrètement pour notre public ?

Intervenant 21:31

Alors, si ceux qui nous écoutent essaient de visualiser un repère mathématique classique, on parle en fait de la courbe de la fonction inverse. Donc l'équation Y égale 1 sur X.

Intervenant 11:41

D'accord.

Intervenant 21:42

Et trouver sa quadrature, c'est tout simplement réussir à calculer l'air qui se trouve sous cette courbe.

Intervenant 11:48

Ok, donc la surface entre l'axe horizontal en bas et la courbe en haut.

Intervenant 21:53

C'est ça. Plus précisément, on prend l'air comprise entre une ligne verticale à l'abscisse 1 et une autre ligne verticale un peu plus loin à une abscisse quelconque, disons A.

Intervenant 12:03

Très clair. Mais du coup, pourquoi cet engouement soudain pour cette courbe en particulier à ce moment-là ?

Intervenant 22:08

En fait, il faut voir que l’hyperbole appartient à une famille très ancienne qu'on appelle les sœurs coniques.

Intervenant 12:14

Ah oui, avec l'ellipse et la parabole.

Intervenant 22:15

Exactement. Ce sont des courbes étudiées depuis l'Antiquité grecque par des gens comme Apollonius de Perge. On les obtient en coupant un cône avec un plan. Mais pendant des siècles, c'était resté de la géométrie abstraite.

Intervenant 12:27

Totalement théorique.

Intervenant 22:28

Voilà. Et ce qui est fascinant ici, c'est qu'au XVIIe siècle, ces objets géométriques antiques deviennent soudainement le langage de la physique moderne.

Intervenant 12:37

C'est vrai. Galilée, par exemple, découvre que les trajectoires des boulettes canon sans frottement, ce sont des paraboles.

Intervenant 22:42

Oui, la parabole trouve sa place dans la balistique terrestre.

Intervenant 12:45

Et Kepler, de son côté, comprend que les planètes tournent selon des trajectoires elliptiques. Donc l'ellipse explique le cosmos.

Intervenant 22:52

C'est exactement ça. Et l'ironie, c'est que l'hyperbole, c'est la dernière sœur conique. Elle est toute seule et elle attend son heure de gloire.

Intervenant 12:59

On imagine bien les savants se dire « mais bon sang, cette courbe doit forcément cacher un secret physique majeur ».

Intervenant 23:05

Absolument. Sauf que pour percer ce secret, il fallait pouvoir calculer cette fameuse R sous la courbe. Et là, tout le monde bloque.

Intervenant 13:12

C'est le mur géant. Et pourtant, le grand Pierre de Fermat était passé par là, non ?

Intervenant 23:15

Oui, Fermat avait fait des avancées énormes. Il avait trouvé une formule algébrique très puissante pour calculer l'R sous les courbes de type X à la puissance U.

Intervenant 13:27

Et c'était quoi sa formule magique ?

Intervenant 23:29

Il disait que la primitive, donc l’aire sous x puissance u, c'est x à la puissance u plus 1, le tout divisé par u plus 1.

Intervenant 13:39

Bon, décortiquons tout ça rapidement. Si je prends un polynôme avec un exposant de 2, j'ajoute 1, ça fait 3, et je divise par 3.