Polygone : quand sa définition défie notre intuition

Intervenant 10:00

Bienvenue dans le podcast du magazine Tangente. On va commencer tout de suite par une petite expérience mentale. Imaginons un simple triangle, ou un carré par exemple. Oui, le genre de forme bien sage. Voilà, tracé à la règle, sur un tableau noir, à l'école primaire, avec des bords super nets et des angles évidents. En général, l'intuition nous souffle qu'on sait tous exactement ce qu'est un polygone. C'est l'évidence même pour la plupart des gens en fait. Sauf que notre mission d'aujourd'hui, lors de cette plongée en profondeur dans les sources mathématiques, c'est de détruire cette douce illusion de simplicité. Et si je vous disais que, mathématiquement parlant, un unique point,

Intervenant 20:38

un simple point,

Intervenant 10:39

oui, un minuscule point solitaire dessiné au stylo sur une feuille blanche pouvait en réalité cacher un polygone à un million de côtés ?

Intervenant 20:46

Ah bah c'est sûr que c'est une idée qui semble défier toute logique visuelle quoi. Et pourtant, c'est l'aboutissement d'une réalité mathématique absolument fascinante.

Intervenant 10:57

C'est fou quand on y pense. On va s'attaquer à ces formes géométriques que tout le monde croit connaître. On va révéler comment la quête d'une définition mathématique rigoureuse a carrément donné naissance à de véritables monstres géométriques.

Intervenant 21:10

Oui, des monstres, le mot n'est pas trop fort. Parce que l'histoire de la géométrie nous montre bien que chercher à définir rigoureusement une chose d'apparence banale, ça revient souvent à ouvrir la boîte de Pandore.

Intervenant 11:22

Donc pour que ce simple point puisse être considéré comme un polygone légitime, il a fallu faire quoi au

Intervenant 21:27

juste ? Il a fallu que les mathématiques réinventent intégralement la notion même de forme. Rien que ça.

Intervenant 11:34

Ok, décortiquons tout ça depuis le début. On a souvent tendance à penser que la géométrie est une science complètement figée depuis l'Antiquité. Mais pour comprendre d'où viennent ces fameux monstres, il faut revenir à l'époque où l'humanité a soudainement réalisé qu'elle utilisait les polygones sans même savoir ce qu'ils étaient réellement.

Intervenant 21:52

Tout à fait. Parce que disons-le, pendant des millénaires, les architectes ou les artistes ont manipulé des hexagones ou des octogones avec une précision remarquable. L'humanité n'avait pas vraiment besoin d'une définition absolue pour tailler des pierres.

Intervenant 12:05

C'est vrai, la pratique devançait la théorie.

Intervenant 22:07

Exactement. Mais le bât blesse toujours quand on veut généraliser. Et c'est là qu'intervient l'année 1769. Le mathématicien Albrecht Ludwig Friedrich Meister a décidé qu'il était grand temps de poser des mots définitifs sur ce concept.

Intervenant 12:22

Et la tentative de Meister est captivante. Elle l'est parce qu'elle est presque parfaite. Mais bon, c'est ce presque qui va tout faire dérailler par la suite.

Intervenant 22:30

C'est souvent comme ça en maths,

Intervenant 12:31

hein ? Oui. Donc Meister déclare en substance qu'un n-gone, donc un polygone avec un nombre n de côté, est une séquence cyclique ordonnée.

Intervenant 22:41

Une séquence ordonnée de n sommets, oui, choisie arbitrairement.

Intervenant 12:45

Avec des segments qui relient les sommets adjacents. Voilà, ça a l'air super simple et limpide.

Intervenant 22:51

Et d'un point de vue purement logique, cette définition dégage une élégance indéniable pour l'époque. Elle est courte, elle semble universelle. Il est d'ailleurs assez amusant de noter pour la petite histoire que certains historiens se sont complètement emmêlés les pinceaux avec cette définition.

Intervenant 13:03

Ah oui, vous parlez de Sigmund Günther.

Intervenant 23:06

C'est ça. Cet historien était persuadé, à tort, que le mathématicien Albert Girard avait déjà formulé cette vision un siècle et demi plus tôt, en 1626.

Intervenant 13:16

Sauf que c'était une erreur monumentale de la part de l'historien, n'est-ce pas ?

Intervenant 23:20

Parce que Girard parlait bien de polygone, mais il pensait au polygone classique, disons bien convexe.

Intervenant 13:27

Absolument. Günther n'avait pas du tout saisi la subtilité cachée dans les mots de Mester.

Intervenant 23:32

Et si on décortique bien la phrase de Mester, il dit « une séquence de sommets choisis arbitrairement, avec des segments qui les relient ». Un instant.

Intervenant 13:40

Je vous écoute.

Intervenant 23:41

Il dit qu'on prend des points et qu'on trace des lignes entre eux. Mais il ne précise absolument nulle part que les lignes n'ont pas le droit de se croiser. Et c'est précisément LA faille. Ce qui est fascinant ici, c'est que ça révèle la vraie nature des mathématiques. Si une chose n'est pas explicitement interdite par la définition, alors elle est autorisée.

Intervenant 13:59

Elle a le droit d'exister.

Intervenant 24:01

Elle a même le droit d'exister pleinement, oui.

Intervenant 14:03

C'est une analogie qui me vient en tête. C'est un peu comme donner le fameux jeu d'enfant du « relier les points » à quelqu'un.

Intervenant 24:10

Ah oui, très bonne

Intervenant 14:11

image. On donne une feuille avec des points numérotés de 1 à 10. La seule règle qu'on explique, c'est relis le 1 au 2, le 2 au 3 et ainsi de suite jusqu'au 10 qui rejoint le 1. Mais on oublie de préciser l'évidence. Ne croise pas les lignes et ne dessine pas tous tes points exactement au même endroit sur la feuille.

Intervenant 24:27

Et sans ces interdits, la personne peut gribouiller une étoile totalement chaotique et affirmer en toute bonne foi « c'est bon, j'ai respecté la règle, c'est un décagone ».

Intervenant 14:36

C'est ça.