Pythagore hors du plan : un triangle à trois angles droits ?

Intervenant 10:00

Bienvenue dans le podcast du magazine Tangente pour cette nouvelle exploration. Imaginons un instant un triangle possédant trois angles droits.

Intervenant 20:10

C'est une vraie aberration sur une feuille de papier, ça.

Intervenant 10:12

Complètement. Mais sur la surface de notre planète, c'est une réalité physique. Une réalité qui vient carrément détruire l'une des équations les plus célèbres des mathématiques.

Intervenant 20:22

Le fameux théorème de Pythagore.

Intervenant 10:24

Exactement. Aujourd'hui, on se plonge dans un article passionnant intitulé « Et si c'était faux ? ». On va décortiquer ça ensemble et voir comment ce pilier de la géométrie pourrait soudainement s'effondrer.

Intervenant 20:36

En fait, le fond du problème, c'est vraiment notre terrain de jeu géométrique. Pythagore, ça décrit parfaitement les relations entre les côtés d'un triangle, mais uniquement sur un plan totalement plat.

Intervenant 10:47

Donc sur une table ou un tableau,

Intervenant 20:48

quoi. Voilà, c'est ça. Mais dès qu'on change de point de vue pour se placer sur une sphère, par exemple si on navigue sur l'océan, les règles changent radicalement.

Intervenant 10:57

Ah oui, parce que la surface est courbée.

Intervenant 20:59

Tout à fait. Le chemin le plus court entre deux points n'est plus une vraie ligne droite au sens classique, mais une courbe, un arc de cercle. Sur cette sphère, l'égalité s'effondre totalement.

Intervenant 11:09

D'où ce fameux triangle avec trois angles droits en fait. Si je pars du pôle Nord, que je descends tout droit jusqu'à l'équateur, que je longe cet équateur puis que je remonte au pôle, je viens de faire trois virages à 90 degrés.

Intervenant 21:20

C'est la meilleure image possible. Et face à de telles figures, l'équation classique avec les carrés des côtés ne marche plus du tout. Ce qui est fascinant ici, c'est que les mathématiques s'adaptent avec la trigonométrie sphérique.

Intervenant 11:32

Donc on utilise des cosinus, c'est bien ça ?

Intervenant 21:33

Exactement. La vraie formule sphérique devient cosinus de BC égale cosinus de AB multiplié par cosinus de AC. La surface courbée compresse l'espace. Du coup, les distances ne s'additionnent plus pareil.

Intervenant 11:45

Mais voilà où ça devient vraiment intéressant. Pourquoi une telle différence ? Il doit y avoir un mécanisme derrière tout ça.

Intervenant 21:53

Ce mécanisme, en fait, c'est l'axiome des parallèles. Pythagore, ça équivaut à la géométrie euclidienne où il n'y a qu'une seule droite parallèle à une autre.

Intervenant 12:01

Ce qu'on apprend tous à l'école. Sauf que sur une sphère, les lignes droites, ce sont les grands cercles. Et ils finissent toujours par se croiser.

Intervenant 22:09

Voilà, il y a zéro parallèle. La courbure force les lignes à converger. La diagonale, l'hypoténuse, devient plus courte. Et là, l'équation devient une inégalité où le carré de l'hypoténuse est strictement inférieur à la somme des carrés des autres côtés.

Intervenant 12:23

Mais ça m'amène à un paradoxe très concret du quotidien. La Terre est ronde. Pourtant, sur nos chantiers, les maçons utilisent Pythagore pour monter des murs droits. Pourquoi nos bâtiments ne sont pas travers ?

Intervenant 22:35

C'est juste une question d'échelle. La courbure de la Terre est tellement vaste que sur un petit triangle dessiné dans un salon, la surface est localement plate.

Intervenant 12:44

D'accord, l'erreur est microscopique en fait.

Intervenant 22:47

Totalement. À notre échelle, Pythagore reste une approximation fabuleusement précise.

Intervenant 12:51

Ok, je comprends mieux. Mais l'article évoque aussi d'autres espaces. L'espace de Minkowski, ou une nappe d'hyperboloïdes. Sans faire trop de calculs complexes, que se passe-t-il si la courbure va dans l'autre sens ?

Intervenant 23:04

Prenons une forme qui s'évase, comme une selle de cheval.

Intervenant 13:07

Ou une chips géante.

Intervenant 23:08

Ouais, on peut dire ça. Là, on entre dans la géométrie hyperbolique, qui est super utile en relativité restreinte. La courbure est négative, donc les lignes s'éloignent. On peut tracer une infinité de parallèles.

Intervenant 13:22

Ce qui veut dire que les côtés du triangle s'étirent et s'écartent.

Intervenant 23:25

C'est exactement ça. L'hypoténuse s'allonge, le signe de notre inégalité bascule dans la direction opposée, donc supérieure cette fois, et on utilise d'autres outils comme le cosinus hyperbolique pour calculer cette dilatation.

Intervenant 13:38

Alors qu'est-ce que tout cela signifie au fond ? Le théorème qu'on nous a appris n'est pas faux en soi, il décrit simplement un espace très particulier à courbure nulle.

Intervenant 23:47

C'est une réalité purement locale.

Intervenant 13:49

Tout à fait.

Intervenant 23:49

Et ça ouvre une perspective assez vertigineuse pour terminer. Puisque notre espace nous semble plat, juste parce qu'on mesure de petits triangles, le fait de mesurer des triangles gigantesques à l'échelle des galaxies pourrait peut-être un jour révéler la courbure globale et véritable de notre propre univers.