Produit vectoriel et produit mixte : de l’aire au volume

Intervenant 10:00

Bonjour et bienvenue dans le podcast du magazine Tangente. Aujourd'hui, on va plonger dans un truc assez fascinant.

Intervenant 20:06

Ah oui, une vraie plongée au cœur de la géométrie et de la mécanique.

Intervenant 10:10

C'est ça. On va décortiquer deux piliers de ces domaines, à savoir le produit vectoriel et le produit mixte. Et tout commence en 1843 avec un rêve fou, celui du mathématicien britannique William Hamilton.

Intervenant 20:23

Oui, il voulait absolument trouver un moyen de capturer toutes les dimensions de l'espace et toutes ses rotations dans une seule entité mathématique.

Intervenant 10:31

Exactement. Et ce rêve a fini par donner naissance au fameux quaternion. C'est en fait une sorte de mariage complexe entre un nombre classique, un scalaire, et un vecteur à trois dimensions.

Intervenant 20:41

L'intention était noble, c'est sûr. Mais en pratique, c'était devenu une espèce d'immanche couteau suisse mathématique, tu vois.

Intervenant 10:48

Voilà, c'est ça le problème. Si on voulait juste calculer la direction d'une simple force physique, mais on se retrouvait à manipuler la boîte à outils toute entière.

Intervenant 20:56

Complètement. Et ce couteau suisse, pour beaucoup, c'est très vite devenu un obstacle.

Intervenant 11:00

Surtout pour les physiciens de l'époque, non ?

Intervenant 21:02

Absolument. Prends le physicien Josiah Gibbs, par exemple. Lui, il étudiait la thermodynamique et l'électromagnétisme. Il n'en avait vraiment que faire des rotations complexes d'Hamilton.

Intervenant 11:12

Il n'avait pas le temps pour la théorie pure.

Intervenant 21:13

C'est ça, il voulait des opérations directes. Il lui fallait un moyen de calculer des flux ou des forces orthogonales sans s'encombrer du reste. Du coup, par pur pragmatisme, et au grand dam des fans d'Hamilton d'ailleurs, Gibbs a purement et simplement démonté le quaternion.

Intervenant 11:28

En gros, il a gardé la lame et il a jeté le manche quoi.

Intervenant 21:31

Exactement. Il a séparé les composants pour créer des outils indépendants. D'un côté, paf, le produit scalaire, qui sert à évaluer si deux forces vont dans le même sens. Et de l'autre, le produit vectoriel. La petite ironie de l'histoire, c'est que le mathématicien Grassmann avait déjà publié une structure hyper similaire bien avant, dès 1844.

Intervenant 11:52

Ah, les joies des redécouvertes scientifiques !