Principe des tiroirs : comment le simple devient puissant

Intervenant 10:00

Bienvenue dans le podcast du magazine Tangente. Très heureux de vous retrouver pour notre exploration du jour. Et aujourd'hui, on va vous prouver avec une certitude absolue qu'à cet instant précis, il y a au moins quatre personnes dans Paris qui ont très exactement le même nombre de cheveux sur la tête. Et le plus beau dans tout ça, c'est qu'on ne va pas en compter un seul.

Intervenant 20:24

C'est une promesse audacieuse, mais je vous garantis qu'elle est mathématiquement inattaquable. Et c'est vraiment tout l'objet de notre discussion d'aujourd'hui.

Intervenant 10:32

C'est ça. Et c'est en fait, c'est justement le point de départ d'un article vraiment fascinant, publié dans Tangente, que nous décryptons aujourd'hui. L'objectif de notre émission, c'est de comprendre un peu comment les mathématiciens arrivent à des certitudes aussi massives, juste à partir d'observations du quotidien en fait.

Intervenant 20:48

Tout à fait.

Intervenant 10:48

On va plonger dans une branche qu'on appelle la combinatoire et on va voir comment on passe du simple bon sens à des preuves géométriques, arithmétiques, vertigineuses. Et ça, sans s'encombrer de calculs de probabilités interminables.

Intervenant 21:04

Ouais, parce que le secret, il repose sur un outil conceptuel d'une simplicité vraiment désarmante. En fait, pour bien le comprendre, oubliez les mathématiques un instant.

Intervenant 11:13

D'accord.

Intervenant 21:14

Imaginez simplement que vous possédez une petite commode. Et cette commode, elle ne comporte que deux tiroirs.

Intervenant 11:20

Ok, je visualise.

Intervenant 21:21

Bon. Maintenant, imaginez que vous avez trois vêtements, disons trois chemises, et que vous devez absolument les ranger dans cette commode. Qu'est-ce qui se passe ?

Intervenant 11:30

Eh bien, physiquement parlant, si j'ai trois chemises et seulement deux tiroirs, je vais forcément devoir mettre au moins deux chemises dans le même tiroir.

Intervenant 21:39

Voilà.

Intervenant 11:39

Enfin, je veux dire, je peux tout tasser dans un seul, bien sûr. Mais dans tous les cas, il y aura au moins un tiroir avec deux chemises ou plus. Je n'ai pas vraiment le choix, quoi.

Intervenant 21:47

C'est exactement ça. Et vous venez de formuler ce que l'on appelle le principe des tiroirs.

Intervenant 11:52

Ah, d'accord.

Intervenant 21:53

Les anglo-saxons, ils appellent ça le « pigeonhole principle », l'idée des pigeons qui doivent se répartir dans les lucarnes d'un pigeonnier, qui sont trop peu nombreuses. Mais en fait, c'est le mathématicien allemand Johann Peter Gustav Legend de Richelette qui a formellement théorisé la chose. C'était en 1834, sous le nom de Schubfahrprinzip.

Intervenant 12:14

Ah mes souhaits ! Avouez que c'est presque trop simple pour porter le nom d'un mathématicien du XIXe siècle, non ?

Intervenant 22:20

Ben, on pourrait le croire, ouais. Mais la simplicité n'est qu'apparente. Parce que, en fait, dit Richelin, ne s'est pas arrêté là. Il a posé une règle qui est généralisable.

Intervenant 12:32

D'accord.

Intervenant 22:33

Si on range n plus un objet dans n tiroirs, au moins un tiroir contiendra deux objets. Bon, jusque-là, c'est vos chemises.

Intervenant 12:41

C'est mes chemises,

Intervenant 22:42

ouais. Mais si on augmente un peu les volumes. Si vous devez ranger K fois N plus un objet dans N tiroirs.

Intervenant 12:50

Oula.

Intervenant 22:50

Alors, au moins un tiroir contiendra obligatoirement K plus un objet.

Intervenant 12:55

Attendez, attendez, ne me perdez pas avec les K et les N là. Si je reprends ma commode à trois tiroirs.

Intervenant 23:00

Ouais.

Intervenant 13:01

Et que, disons, j'ai 10 chemises à ranger.

Intervenant 23:04

Oui.

Intervenant 13:04

Bon, 10 c'est 3 fois 3 tiroirs plus une chemise qui me reste sur les bras. Le principe me dit qu'un tiroir aura au moins 4 chemises du coup.

Intervenant 23:11

C'est exactement la bonne déduction, oui. Mathématiquement parlant, en fait, on divise le nombre d'objets par le nombre de tiroirs et on arrondit à l'entier supérieur.

Intervenant 13:22

Ah je vois.

Intervenant 23:22

Donc 10 divisé par 3 ça donne 3,33, on arrondit au-dessus ça donne 4. En langage ensembliste formel, pour être un peu plus précise, on dit que si on a deux ensembles finis E et F, et que E contient plus d'éléments que F, aucune fonction reliant E et F ne peut être strictement injective. Il y aura forcément des collisions.

Intervenant 13:46

Ok, bon, permettez-moi de déjargonner un peu ça pour que l'image reste bien concrète pour ceux qui nous écoutent.

Intervenant 23:51

Bien

Intervenant 13:51

sûr. Si je résume, c'est un peu le principe du jeu des chaises musicales, mais appliqué à la logique pure. C'est ça. La musique s'arrête, il y a cinq enfants, mais seulement quatre chaises. Et inévitablement, deux enfants vont essayer de s'asseoir sur la même chaise.

Intervenant 24:06

L'analogie des chaises musicales, elle est parfaite. C'est vraiment exactement le même mécanisme d'évidence spatiale et logique.

Intervenant 14:13

D'accord. Bon, l'idée est limpide. Mais prouvez-moi que ça sert dans le monde réel. Parce que tout à l'heure, en introduction, j'ai promis à nos auditeurs une histoire de cheveux parisiens, là.

Intervenant 24:23

Ouais, c'est vrai.

Intervenant 14:24

Comment on passe des chaises musicales à la chevelure de millions de personnes ?

Intervenant 24:28

Faisons l'expérience de pensée de l'article de Tangente en fait. La question c'est, est-ce qu'on peut affirmer qu'à Paris, intra-muros, au moins quatre personnes ont, au cheveu près, la même chevelure aujourd'hui ? Pour répondre, il nous faut deux données. D'abord, la science nous apprend qu'un être humain possède en moyenne entre 100 000 et 150 000

Intervenant 14:49

cheveux.

Intervenant 24:50

Et prenons une marge de sécurité gigantesque. Disons qu'absolument personne sur Terre n'a plus de 500 000 cheveux.

Intervenant 14:57

OK.