Pourquoi n’existe-t-il que sept types de frises ?

Intervenant 10:00

Bienvenue dans le podcast du magazine Tangente et un très grand merci à toutes celles et ceux qui nous rejoignent pour cette nouvelle exploration.

Intervenant 20:09

Bonjour, ravie d'être là pour décortiquer ce sujet avec vous aujourd'hui.

Intervenant 10:13

Alors, il suffit d'imaginer un instant un artiste dans son atelier. Cet artiste, il a reçu une commande spéciale.

Intervenant 20:20

Une grosse commande,

Intervenant 10:21

oui. Voilà. Concevoir un motif décoratif, une frise, pour orner les murs d'un immense palais. Et sur le paquet, la liberté semble vraiment totale.

Intervenant 20:31

C'est clair. On peut y dessiner des lianes qui s'entrelacent, des créatures fantastiques, des formes géométriques ultra complexes.

Intervenant 10:38

Ouais, jouer sur les couleurs, les espacements, tout ça, on a vraiment l'illusion d'une créativité absolument infinie.

Intervenant 20:44

Et pourtant, et c'est là que ça devient fascinant, les mathématiciens ont une réalité assez brutale à opposer à cet artiste.

Intervenant 10:51

Brutale, c'est le mot. On

Intervenant 20:52

aura même prisonnière d'une liste très restreinte dictée par l'unimère.

Intervenant 10:57

C'est tout le paradoxe de la géométrie combinatoire en fait. On pense inventer, mais on ne fait que remplir un moule qui existe déjà.

Intervenant 21:03

Exactement. Et l'article que nous explorons aujourd'hui, il s'intitule « Les sept types de frises ». Ce titre annonce tout de suite la couleur.

Intervenant 11:10

Il n'y en a que sept. Pas un de plus.

Intervenant 21:13

C'est ça. Toute l'histoire de l'art décoratif linéaire tient dans ces sept minuscules catégories mathématiques.

Intervenant 11:20

Bon, avant de plonger dans ce mystère du chiffre 7, je pense qu'il faut définir très clairement notre objet d'étude.

Intervenant 21:25

D'accord.

Intervenant 11:26

Qu'est-ce qu'on appelle exactement une frise en mathématiques ? Parce qu'il ne faut pas confondre ça avec un pavage.

Intervenant 21:31

Ah, c'est une distinction super importante, oui. Un pavage, c'est un motif qui a pour vocation de recouvrir un plan entier.

Intervenant 11:39

De toutes les directions, du

Intervenant 21:40

coup. Voilà, si l'on regarde le carrelage d'une cuisine ou les mosaïques géantes de la Lambra, le motif s'étend indéfiniment sur la longueur et la largeur.

Intervenant 11:50

C'est un espace en deux dimensions complète.

Intervenant 21:52

C'est ça. La frise, elle, elle a une contrainte majeure. Elle ne se propage que dans une seule direction.

Intervenant 11:58

Donc, c'est le ruban de papier peint en haut du mur ou la bordure sculptée le long d'un temple grec.

Intervenant 22:03

Tout à fait.

Intervenant 12:04

Ça court sur une ligne, de gauche à droite, théoriquement jusqu'à l'infini, mais ça reste confiné dans une bande d'une certaine hauteur.

Intervenant 22:11

C'est bien ça. On est sur un objet qui vit dans un espace à une dimension de propagation, même si le dessin en lui-même a une épaisseur. Et pour analyser comment ces motifs peuvent se répéter le long de cette ligne infinie, l'article propose une méthode d'analyse qui peut sembler très contre-intuitive au premier abord.

Intervenant 12:30

Oui, j'ai vu ça.

Intervenant 22:31

Pour comprendre ce ruban plat, il faut d'abord l'enrouler.

Intervenant 12:34

Et ça, franchement, c'est un point sur lequel j'ai un peu bloqué lors de ma première lecture. Ah bon ? Bah oui, on veut analyser un mur plat en deux dimensions et le texte nous emmène soudainement dans l'espace en trois dimensions avec des cylindres et des amphores antiques.

Intervenant 22:47

C'est déroutant, je comprends.

Intervenant 12:49

Quel est l'intérêt de compliquer des choses en ajoutant une dimension supplémentaire en fait ?

Intervenant 22:53

Mais c'est pas pour compliquer, c'est au contraire pour rendre le calcul possible.

Intervenant 12:57

Ah

Intervenant 22:57

ouais ? Oui, parce que l'infini, c'est quelque chose de très difficile à manipuler mathématiquement. Si on prend une ligne qui s'arrête jamais, on ne peut pas l'isoler pour la

Intervenant 13:05

mesurer. C'est vrai, vu

Intervenant 23:07

comme ça. Du coup, l'astuce des topologistes, c'est de tricher un peu avec l'espace, en prenant ce ruban infini et en l'enroulant sur lui-même pour former un cylindre exactement comme les frises de guerriers qui font le tour d'un vase grec. On transforme un problème infini en un problème fini.

Intervenant 13:22

D'accord. Le motif fait le tour, il se referme sur lui-même.

Intervenant 23:26

Voilà, et on obtient une boucle fermée qu'on peut enfin étudier.

Intervenant 13:29

Ok, je commence à saisir la nuance. On utilise la symétrie de rotation du vase, qui est un espace clos en fait, pour comprendre la répétition.

Intervenant 23:37

Exactement.

Intervenant 13:38

Mais bon, on décore pas tous nos salons avec des vases géants ici. Bah non, ce serait encombrant. Alors comment on ramène cette théorie cylindrique sur notre mur parfaitement plat ?

Intervenant 23:48

Par une expérience de pensée très élégante. Il suffit d'imaginer que ce cylindre, il se met à gonfler. Il

Intervenant 13:54

gonfle.

Intervenant 23:55

Oui. Son rayon s'agrandit de plus en plus. Si l'on se tient sur un cylindre d'un kilomètre de rayon, la surface sous nos pieds, elle nous paraît déjà presque plate.

Intervenant 14:05

Ah, comme la courbure de la Terre en fait.

Intervenant 24:06

C'est exactement le même principe. Et si ce rayon tend vers l'infini, la courbure disparaît totalement. Le cylindre se casse en quelque sorte et se déroule pour redevenir un plan plat infini.

Intervenant 14:18

C'est fou. Cette gymnastique mentale, elle permet donc de prouver que les règles de symétrie qui s'appliquent sur le cercle fini, elles s'appliquent de la même manière sur la ligne droite infinie. Tout juste. C'est un peu comme l'analogie du rouleau de ruban adhésif imprimé. Tant qu'il est enroulé, c'est un cylindre. Mais quand on le tire et qu'on le colle sur une table, paf, on transfère la géométrie de l'objet 3D vers une surface 2D.

Intervenant 24:43

Ah, l'image est excellente ! Et une fois que notre frise est bien à plat, étalée sur la table, il faut trouver un moyen de classer ses motifs.

Intervenant 14:52

Sans se laisser distraire par les choix artistiques, j'imagine.

Intervenant 24:54

Exactement.