Pizza : pourquoi trois coupes peuvent-elles donner sept parts ?

Intervenant 10:00

Bienvenue dans le podcast du magazine Tangente. Aujourd'hui, je vais vous prouver que vous ne savez pas couper une pizza. Pire encore, je vais vous montrer que votre cerveau est en fait programmé pour se tromper systématiquement quand il s'agit de trancher un gâteau ou n'importe quel objet du quotidien

Intervenant 20:18

d'ailleurs. C'est une promesse un peu audacieuse pour commencer, non ? Ouais. Mais il faut admettre que l'intuition humaine a de sérieuses lacunes géométriques dès qu'on sort des schémas les plus basiques.

Intervenant 10:29

C'est ça. Et notre mission du jour, en nous appuyant sur l'excellent article Les bons partages, c'est justement de comprendre pourquoi. Nous allons décortiquer comment une situation aussi banale que la découpe d'un repas cache en réalité des lois mathématiques et combinatoires incroyables.

Intervenant 20:46

Absolument.

Intervenant 10:47

Mais pour ne perdre personne en route, l'article propose de commencer par l'apéritif.

Intervenant 20:52

Voilà.

Intervenant 10:52

Plus précisément, par un saucisson.

Intervenant 20:55

Oui, alors le saucisson, c'est le cas d'école parfait parce que d'un point de vue purement géométrique, on peut l'assimiler à un objet à une seule dimension. D'accord. Un simple segment de droite en fait.

Intervenant 11:08

Ouais, une ligne quoi.

Intervenant 21:09

C'est ça. Si vous posez votre lame et que vous donnez un coup de couteau perpendiculaire, vous divisez ce segment en deux.

Intervenant 11:15

Oui.

Intervenant 21:15

Vous obtenez deux tranches. Si vous donnez deux coups de couteau, vous en obtenez trois.

Intervenant 11:20

Bon là, on est au niveau maternel, on est d'accord. Un coup, deux tranches, deux coups, trois tranches...

Intervenant 21:27

C'est basique, et si on généralise, pour n coups de couteau, vous obtenez n plus 1 tranche. Mais il y a une hypothèse mathématique sous-jacente, très importante ici, qui va nous suivre tout le long de notre exploration. C'est l'idée qu'on ne coupe jamais deux fois au même endroit. Chaque coup de couteau crée inévitablement une nouvelle séparation sur notre segment.

Intervenant 11:51

Ça me fait penser à une simple ligne du temps, en fait. Si je prends une période historique, disons l'Antiquité, et qu'un événement majeur se produit, cet événement va agir comme une coupe sur ma ligne continue.

Intervenant 22:03

Ouais, c'est une bonne analogie.

Intervenant 12:04

Il scinde le temps et crée un nouvel intervalle, une nouvelle époque. On avance d'une unité à chaque fois. C'est très linéaire.

Intervenant 22:11

L'analogie temporelle fonctionne bien pour la dimension 1, oui. Chaque événement fragmente la continuité.

Intervenant 12:18

Voilà.

Intervenant 22:18

Mais la question de cette plongée mathématique, ce n'est pas de rester sur une ligne. Que se passe-t-il si la table s'élargit ? Comment les règles changent-elles quand on passe à une surface plane, à la dimension 2 ?

Intervenant 12:34

Le plat de résistance. On délaisse le saucisson pour s'attaquer à la pizza.

Intervenant 22:38

Exactement.

Intervenant 12:38

Géométriquement parlant, on est face à un disque plat.

Intervenant 22:41

C'est ça.

Intervenant 12:42

Donc, si je reprends ma logique, un coup de couteau, donc une ligne droite de bout en bout de ma pizza, ça me donne deux parts.

Intervenant 22:48

Oui.

Intervenant 12:49

Jusque là, tout va bien.

Intervenant 22:50

Oui, oui.

Intervenant 12:51

Deux coups de couteau séquents forment une croix. Ça me donne quatre parts.

Intervenant 22:54

Voilà.

Intervenant 12:55

Et on arrive au fameux test. Si vous tracez une troisième ligne droite à travers cette pizza, vous obtenez combien de parts ?

Intervenant 23:03

L'instinct de survie en soirée, c'est de répondre six parts.

Intervenant 13:06

Et oui, c'est ce qu'on fait tous. On coupe en étoiles en passant toujours par le centre. C'est un peu comme, vous savez, le célèbre Gaulois dans la bande dessinée qui coupe le gâteau de Cléopâtre en trois parts avec deux coupes. On cherche l'équilibre parfait.

Intervenant 23:20

L'équilibre, la symétrie. Oui, c'est très bien pour la paix sociale. Mathématiquement, dans ce type de problème, on cherche à maximiser, on veut le plus grand nombre de régions possible.

Intervenant 13:32

Ah, d'accord.

Intervenant 23:33

Et c'est là que l'intuition commence à nous jouer des tours. Avec trois coupes droites, le maximum, ce n'est pas six.

Intervenant 13:39

Non.

Intervenant 23:39

Il est de sept parts.

Intervenant 13:40

Attendez, sept parts ?

Intervenant 23:42

C'est ce qu'on appelle souvent le problème du traiteur paresseux dans la littérature anglophone.

Intervenant 13:48

Attendez, je dois me faire un schéma mental. Comment on arrive à sept parts avec seulement trois lignes droites ? Parce que si je coupe en étoile, je passe par le centre de ma croix et j'ai six pointes. Elle est où la septième ?

Intervenant 24:02

Pour la faire apparaître, il faut décaler la

Intervenant 14:04

lame.

Intervenant 24:06

La règle d'or pour maximiser les régions, c'est que votre nouvelle ligne doit traverser toutes les lignes précédentes, mais sans jamais passer par un point où ces lignes se croisent déjà.

Intervenant 14:15

Donc, je reprends ma pizza avec ma première croix. Au lieu de viser le centre de la croix pour ma troisième coupe, Je décale un peu mon couteau vers le bord.

Intervenant 24:25

Voilà.

Intervenant 14:25

Mais je l'incline pour qu'il croise quand même la ligne horizontale et la ligne verticale.

Intervenant 24:29

C'est exactement ça. En faisant cela, votre troisième ligne va former un tout petit triangle central avec les deux premières, juste à côté du point d'intersection d'origine.

Intervenant 14:39

Ah oui.

Intervenant 24:40

Et vous venez de créer la fameuse septième part.

Intervenant 14:42

Oh c'est

Intervenant 24:42

fou. La règle, c'est que toutes les droites doivent être séquentes deux à deux, mais on interdit à trois droites de se croiser au même point.

Intervenant 14:50

D'accord, je le vois. Mais ça soulève un problème pratique, ça. Lequel ?