Nombres décadiques : pourquoi …999 vaut-il −1 ?

Intervenant 10:00

Bienvenue dans le podcast du magazine Tangente. Aujourd'hui, on va aborder un truc vraiment particulier. Et si on imaginait qu'une infinité de 9 alignés, ça donne exactement −1 ?

Intervenant 20:13

Oui, dit comme ça, ça paraît totalement absurde.

Intervenant 10:16

C'est clair. Parce que normalement, les mathématiques, on voit ça comme un univers superfigé, un monde de règles strictes, de théorèmes qu'on ne touche surtout pas. On applique la formule, on a le résultat et on passe à autre chose.

Intervenant 20:29

Exactement, la bonne vieille arithmétique. Mais en fait, l'histoire des sciences, elle bascule souvent quand quelqu'un décide d'arrêter de suivre les règles, de juste renverser le plateau pour voir un peu ce qui se passe.

Intervenant 10:40

Et c'est exactement ce qu'on va faire aujourd'hui.

Intervenant 20:42

Voilà. C'est vraiment cette impulsion, ce besoin de s'affranchir des cadres qui a amené une des inventions les plus dingues de la fin du XIXe siècle. En 1897, il y a un mathématicien allemand, Kurt Hensel,

Intervenant 10:56

Kurt

Intervenant 20:57

Hensel qui décide d'observer nos nombres classiques, mais sous un angle totalement inédit. C'est là qu'il introduit ce qu'il appelle les nombres péadiques, et plus spécifiquement pour notre système en base 10 à nous, les nombres

Intervenant 11:09

décadiques. Décomposons cela ensemble. Notre mission pour cette plongée au cœur de nos sources, c'est d'explorer cette véritable chimère décadique.

Intervenant 21:18

J'aime bien le terme « chimère », c'est très à propos.

Intervenant 11:21

N'est-ce pas ? On va vraiment pénétrer dans un univers miroir, où nos nombres subissent une mutation radicale. Leurs chiffres, au lieu de s'arrêter, s'étirent à l'infini. Et pas vers la droite après la virgule comme d'habitude, mais …

Intervenant 21:32

Vers la gauche.

Intervenant 11:33

Vers la gauche, voilà.

Intervenant 21:34

Mais notre but, c'est de décortiquer comment ce pur plaisir intellectuel, qui a l'air de contredire tout bon sens, sert en fait de banc d'essai pour notre propre réalité mathématique.

Intervenant 11:46

Absolument. Mais pour vraiment saisir cette mécanique de nombre qui parle vers la gauche à l'infini, il faut faire un petit pas en arrière.

Intervenant 21:53

Un petit rappel historique.

Intervenant 11:54

C'est ça. Faut d'abord se demander pourquoi nos nombres à nous s'étendent vers la droite. C'est un truc qu'on tient tellement pour acquis.

Intervenant 22:00

Bah oui, on l'apprend tous à l'école primaire. Nos nombres entiers, ce sont des puissances de 10 qui s'accumulent vers la gauche, unités, dizaines, centaines. Et pour les décimales, ce sont des fractions de 10 qui s'écoulent vers la droite.

Intervenant 12:14

Oui, et le vrai verrou technologique qui a permis ça, c'est l'invention du zéro.

Intervenant 22:18

Ah oui, le fameux zéro. Parce qu'il a fallu plus de 1000 ans après les pythagoriciens pour que cette numération de position s'établisse vraiment en Inde. Le zéro servait de marqueur de position vide. Si on regarde le contraste avec les babyloniens, c'est frappant.

Intervenant 12:32

Ils avaient un système super complexe ce nombre.

Intervenant 22:34

Très sophistiqué, ouais. Un système sexagésimal, basé sur les puissances de 60. Mais le truc, c'est que sans concept formel pour dire « ici, il n'y a rien », bah un même symbole sur leur tablette d'argile, ça pouvait vouloir dire 1.

Intervenant 12:46

Ou 60, ou 3600 selon le contexte,

Intervenant 22:49

quoi. Exactement. C'était le lecteur qui devait deviner l'ordre de grandeur. L'invention du zéro et de la virgule a complètement figé notre écriture. Et du coup, la droite de la virgule, ça permet d'écrire des réels avec une infinité de décimales.

Intervenant 13:01

Comme un tiers ou la racine carrée de 2.

Intervenant 23:05

Voilà. Et c'est là que Kurt Hensel arrive et se dit, et si on changeait la gravité de tout ça ?

Intervenant 13:11

Il retourne le concept.

Intervenant 23:12

Totalement. Il crée un objet formel, que dans la littérature mathématique francophone, on appelle parfois un Brenon, B-R-E-N-O-M, pour nombre à l'envers.

Intervenant 13:22

Ah, amusant !

Intervenant 23:23

N'est-ce pas ? Et la logique est inversée. Ce nouveau nombre, il a un nombre fini de chiffres vers la droite, donc après la virgule, ça s'arrête, mais vers la gauche, c'est potentiellement infini.

Intervenant 13:33

C'est fou de visualiser ça. C'est un peu comme tenir un livre dont on connaîtrait la toute fin.

Intervenant 23:40

Oui, le point final serait notre virgule.

Intervenant 13:42

C'est ça, la virgule, c'est la fin, mais le récit s'écrirait perpétuellement à l'envers, chapitre par chapitre vers le début, sans jamais trouver de commencement.

Intervenant 23:50

2, 8, 7, 2.

Intervenant 13:52

Mais logiquement, si on commence à faire des vraies mathématiques avec ça, on doit vite se prendre des murs, non ? Enfin, si j'essaye de faire une toute petite addition. Dans la vraie vie, on aligne nos nombres par la droite et on additionne de droite à gauche.

Intervenant 24:03

En propageant les retenues,

Intervenant 14:05

ouais. Sauf que là, si la gauche n'a pas de fin, mon addition se termine littéralement jamais.

Intervenant 24:09

Alors oui, dans l'absolu, elle ne se termine jamais. Mais mécaniquement, ça ne pose strictement aucun problème.

Intervenant 14:15

Vraiment ?

Intervenant 24:15

Vraiment. Parce que les n derniers chiffres de votre résultat à droite dépendront toujours exclusivement des n derniers chiffres des deux nombres de départ. Les calculs que vous faites à droite sont définitifs.

Intervenant 14:26

Ah, parce que la retenue part vers la gauche.

Intervenant 24:29

C'est ça. Une retenue se décale vers la gauche, vers l'infini, mais elle ne revient jamais au grand jamais modifier ce qui a déjà été calculé à droite.

Intervenant 14:39

D'accord, je vois le truc, le flux va dans un seul sens, donc l'addition tient la route. Mais pour qu'une addition marche dans un système mathématique, il faut bien un élément neutre, un zéro. Si j'ajoute zéro, rien ne change. Donc dans ce monde infini vers la gauche, le zéro c'est logiquement une infinité de zéros.