Nombres algébriques : pourquoi les radicaux ne suffisent pas ?

Intervenant 10:00

Bienvenue dans le podcast du magazine Tangente. Pensons une seconde à la gastronomie. Croire que tous les plats d'un grand chef se cuisinent exclusivement avec, disons, trois épices de base, ça serait complètement absurde.

Intervenant 20:13

Ça oui, c'est

Intervenant 10:14

sûr. Et pourtant, en mathématiques, on a une illusion assez similaire qui est à la vie dure concernant les nombres algébriques. Spontanément, on visualise tout de suite des racines carrées ou cubiques, genre la fameuse racine de 2 ou le nombre d'or.

Intervenant 20:27

Ouais, c'est un réflexe visuel très ancré. Le symbole du radical, il est vraiment omniprésent dans notre apprentissage. Mais le cœur de notre plongée d'aujourd'hui, c'est d'explorer un postulat hyper contre-intuitif.

Intervenant 10:39

D'accord.

Intervenant 20:39

Être un nombre algébrique, donc être la solution d'une équation polynomiale, ça ne garantit absolument pas qu'on puisse l'écrire avec ces fameux radicaux.

Intervenant 10:48

Alors, décortiquons tout ça, parce que c'est vraiment fascinant. Comment c'est possible qu'un nombre soit la solution d'une équation sans qu'on puisse l'aigrir avec des racines classiques ? Prenons, je ne sais pas, une équation en apparence inoffensive ?

Intervenant 21:04

D'accord. Prenons x à la puissance 5 moins x moins 1 égale 0. C'est vraiment le cobaye parfait. Cette équation possède cinq racines, une réelle et quatre complexes. Elles sont algébriques par définition. Pourtant, aucune de ces cinq valeurs ne peut s'écrire avec nos symboles de racines. C'est mathématiquement impossible.

Intervenant 11:29

Attendez, impossible ! Mais qu'est-ce qui coince exactement au 5e degré ? Enfin, les lycéens connaissent la formule pour le degré 2.