9 oct. 2019 · 9 min
Nombre d’embrassades : 12 sphères autour d’une, pas 13
Dans cet épisode audio, partez de six cercles dans le plan, puis observez la limite de douze sphères autour d’une sphère centrale dans l’espace.
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Un contenu original Tangente, adapté en podcast avec l’aide de l’IA et validé par notre rédaction. Comment ça marche ?
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Intervenant 1
Bienvenue dans le podcast du magazine Tangente. Bonjour. Aujourd'hui, on va faire une exploration de notre article de référence qui s'appelle « Mathématiques des bisous ».
Intervenant 2
Oui, un titre plutôt intriguant.
Intervenant 1
C'est ça. Et la mission, en fait, c'est de décortiquer ce qu'on appelle en géométrie le « kissing number ».
Intervenant 2
Le nombre d'embrassades, si on traduit littéralement.
Intervenant 1
Voilà, et pour bien comprendre, imaginez que vous êtes au marché en train d'empiler des oranges.
Intervenant 2
D'accord.
Intervenant 1
Si vous avez une orange au centre, la question c'est combien d'autres oranges vous pouvez placer autour pour qu'elles la touchent tout en même temps ?
Intervenant 2
Ça paraît super intuitif comme question, dit comme ça.
Intervenant 1
Oui, on a l'impression que c'est du bon sens, mais en fait, ça a vraiment rendu fous les mathématiciens pendant des siècles.
Intervenant 2
Oh que oui.
Intervenant 1
Donc, pour bien ancrer la chose, on va commencer par la dimension 2 sur une surface plane. Ouais, le
Intervenant 2
plan, c'est plus
Intervenant 1
simple. Si vous posez une pièce de monnaie sur une table et que vous mettez des pièces identiques autour, vous pourrez en ajuster exactement 6. Pas une de plus, pas une de moins. C'est très simple. C'est un peu comme optimiser le rangement de boules de billard dans un triangle.
Intervenant 2
C'est ça. Et le mot-clé dans ce que vous venez de dire, c'est vraiment « ajuster ».
Intervenant 1
Ajuster, d'accord.
Intervenant 2
Parce qu'en 2D, l'espace autour de la pièce centrale, il est saturé. Il est complètement verrugé. Il n'y a plus aucune marge de manœuvre en fait.
Intervenant 1
Donc tout est coincé.
Intervenant 2
Exactement. Tout forme un hexagone parfait et puis rien ne bouge.
Intervenant 1
D'accord, donc l'affaire est rapidement pliée avec le chiffre 6 sur un
Intervenant 2
plan.
Intervenant 1
Mais qu'est-ce qui se passe dans notre réalité physique, je veux dire en trois dimensions ? Parce que dès qu'on passe à la 3D, avec nos oranges par exemple, on introduit une nouvelle variable, non ? Le vide entre les courbes.
Intervenant 2
C'est tout à fait ça, oui.
Intervenant 1
À quel point cette dimension supplémentaire vient semer le chaos dans l'équation ?
Intervenant 2
Eh bien, c'est un chaos très subtil, mais il est bel et bien présent en 3D. Le Kissing Number, il est de 12.
Intervenant 1
OK, 12 oranges, du coup.
Intervenant 2
Voilà, vous pouvez disposer 12 sphères autour de la sphère centrale. C'est un résultat qui a été conjecturé depuis très très
Intervenant 1
longtemps.
Intervenant 2
Mais, et c'est là que c'est fascinant, contrairement à la 2D où tout est bloqué, comme
Intervenant 1
on disait, oui,
Intervenant 2
eh bien en 3D, il reste de la marge.
Intervenant 1
De la marge, c'est-à-dire ?
Intervenant 2
Il y a suffisamment d'espace libre pour que vous puissiez faire glisser les sphères à la surface de la boule centrale.
Intervenant 1
Ah ouais, donc elles ne sont pas coincées ?
Intervenant 2
Non, pas du tout. Vous pouvez même échanger la position de deux d'entre elles sans jamais rompre le contact avec le centre.
Intervenant 1
Ah, c'est fou ça ! Et je sais que c'est précisément ce fameux jeu entre les sphères qui a causé de gros débats historiques, non ?
Intervenant 2
Oh oui, d'énormes débats.
Intervenant 1
Je crois qu'au XVIIe siècle, Isaac Newton et le mathématicien David Gregory se sont un peu écharpés là-dessus.
Intervenant 2
Exactement. Newton, lui, il disait que le maximum, c'était
Intervenant 1
12.
Intervenant 2
Mais Grégory, il pensait qu'en tassant bien tout cet espace libre dont on vient de parler...
Intervenant 1
Oui, en regroupant les trous,
Intervenant 2
quoi. C'est ça. Il pensait qu'on pouvait faire rentrer une 13e sphère.
Intervenant 1
Mais comment c'est possible que deux génies de cette envergure n'arrivent pas à s'entendre sur un problème qu'on peut, je ne sais pas, physiquement construire sur une table ?
Intervenant 2
Parce que construire le modèle physique, ça ne suffit pas à offrir une certitude purement mathématique.
Intervenant 1
D'accord.
Intervenant 2
L'espace libre, il existe, oui. Mais il est réparti un peu partout, entre toutes les
Intervenant 1
sphères.
Intervenant 2
Le vrai défi, c'était de prouver qu'aucun glissement, aussi astucieux soit-il, ne permettait de regrouper ces petits espaces pour créer un trou unique.
Intervenant 1
Un trou de la taille exacte d'une 13e sphère, en gros.
Intervenant 2
Voilà. Et pour avoir cette certitude, il a fallu attendre le milieu du XXe siècle.
Intervenant 1
Le XXe siècle ? Pour un problème aussi visuel ? Mais comment on fait pour prouver que c'est impossible ?
Intervenant 2
Eh bien, ils ont dû abandonner l'observation pure. Visuellement, on a l'impression que ça pourrait passer. Donc les mathématiciens se sont concentrés sur la géométrie des angles.
Intervenant 1
Les angles, d’accord.
Intervenant 2
Ils ont mesuré très précisément les angles qui se forment depuis le centre de la sphère principale vers les centres des autres
Intervenant 1
sphères.
Intervenant 2
Et par des calculs de bornes hyper rigoureux, ils ont démontré que la somme de ces fameuses marges de manœuvre, elle ne pouvait mathématiquement jamais atteindre l'angle d'ouverture requis pour insérer une nouvelle sphère entière.
Intervenant 1
Donc la 13e sphère ne rentre pas. Le débat est clos.
Intervenant 2
Exactement. Newton avait raison.
Intervenant 1
D'accord. Mais alors, si la dimension 3 a exigé des siècles pour être prouvée à cause de ce petit espace vide, le défi doit devenir complètement vertigineux quand on passe aux dimensions supérieures, non ?
Intervenant 2
Totalement vertigineux, oui.
Intervenant 1
Et là, faisons juste une petite pause pour être bien clair avec nos auditeurs.
Intervenant 2
Oui.
Intervenant 1
Quand on parle de dimension 8 ou de dimension 24, on ne parle pas d'univers parallèles de science-fiction.
Intervenant 2
Non, rassurez-vous.
Intervenant 1
En mathématiques, on parle juste d'un objet qui est défini par 8 ou 24 coordonnées au lieu des 3 habituelles, la longueur, la largeur et la hauteur. C'est bien ça ?
Intervenant 2
C'est la bonne façon de le visualiser, oui. Ajouter une dimension mathématique, c'est simplement introduire une nouvelle direction géométrique. Une direction dans laquelle les sphères peuvent s'échapper ou glisser.
Intervenant 1
Donc plus de liberté de mouvement.
Intervenant 2
Voilà. Et c'est pour ça que la complexité devient exponentielle.
Intervenant 1
T'imagines ?
Intervenant 2
Pourtant, au milieu de cette inconnue totale, on a des fulgurances. On connaît le résultat exact pour certaines dimensions.
Intervenant 1
Ah bon ? Lesquelles ?
Intervenant 2
Dimension 24, tenez-vous bien, on a exactement 196 160 sphères.
Intervenant 1
196 560. Exactement ce chiffre-là.
Intervenant 2
À l'unité près.
Intervenant 1
C'est vraiment troublant d'avoir un chiffre aussi exact pour la dimension 24, alors que pour la plupart des autres dimensions, on a tout faux, enfin on ne sait pas.
Intervenant 2
C'est ça, on tâtonne.
Intervenant 1
Dans l'article, on voit qu'en dimension 5, on sait juste que la réponse se situe entre 40 et 44. C'est
Intervenant 2
un encadrement, oui.
Intervenant 1
Et en dimension 23, juste avant notre fameuse certitude de la 24, le flou est immense. Le nombre est compris, je crois, entre 93 150 et 124 416.
Intervenant 2
L'écart est
Intervenant 1
gigantesque. Pourquoi a-t-on des certitudes pour la 8 ou la 24 et pas pour celles qui sont juste à côté ?
Intervenant 2
Ouais.
Intervenant 1
C'est un peu comme si, je sais pas, on avait une carte géographique ultra détaillée pour quelques villes.
Intervenant 2
Très bonne image, oui.
Intervenant 1
Mais où les routes qui les relient sont plongées dans un brouillard cautal.
Intervenant 2
Et l'explication à ce brouillard, elle se trouve dans la symétrie.
Intervenant 1
La symétrie ?
Intervenant 2
Voilà. Dans les dimensions 8 et 24, les mathématiques nous montrent que les sphères peuvent s'organiser en ce qu'on appelle des réseaux hyper-denses, c'est-à-dire des structures parfaitement régulières où tout se verrouille.
Intervenant 1
Hein, comme pour la dimension 2 ?
Intervenant 2
Exactement. C'est le retour du phénomène de nos pièces de monnaie sur la table.
Intervenant 1
D'accord.
Intervenant 2
L'espace, il s'emboîte avec une élégance si pure qu'il n'y a tout simplement plus de place pour le chaos ou le glissement.
Intervenant 1
Tout est bloqué.
Intervenant 2
Tout est verrouillé. Alors que dans les dimensions intermédiaires, comme la 5 ou la 23… Là, on
Intervenant 1
perd cette symétrie.
Intervenant 2
C'est ça. Le vide et le jeu reprennent le dessus. Et donc, sans cette structure parfaite, les mathématiciens en sont réduits à faire des approximations.
Intervenant 1
Et j'imagine que ce besoin de précision absolue, ce n'est pas juste une abstraction esthétique pour s'amuser.
Intervenant 2
Ah non, pas du tout.
Intervenant 1
C'est là que ça nous concerne directement en fait. J'ai lu que ces équations d'empilement multidimensionnelles, ce sont les mêmes que celles qu'on utilise en informatique pour les codes correcteurs d'erreur.
Intervenant 2
Absolument, c'est très concret.
Intervenant 1
Donc si je comprends bien, c'est en organisant nos données selon ces structures géométriques super denses, sans qu'elles ne se chevauchent, que nos téléphones ou nos satellites arrivent à communiquer clairement.
Intervenant 2
Oui, sans interférence.
Intervenant 1
C'est fou de se dire ça.
Intervenant 2
Brutalement, qu'ils révèlent non seulement les limites de notre compréhension des dimensions abstraites, mais qu'ils régient aussi la stabilité de nos technologies modernes, quoi.
Intervenant 1
C'est vertigineux, ouais.
Intervenant 2
Les trous dans notre savoir restent parfois aussi vastes que les espaces vides entre ces sphères, en fait.
Intervenant 1
Ça remet pas mal de choses en perspective.
Intervenant 2
C'est sûr.
Intervenant 1
Eh bien, pour conclure cette exploration, je vais laisser nos auditeurs sur cette pensée provocatrice, peut-être. Je
Intervenant 2
vous écoute.
Intervenant 1
Si notre univers physique recèle en réalité des dimensions supplémentaires, invisibles à l'œil nu, comme le postulent d'ailleurs certaines théories de la physique moderne…
Intervenant 2
La théorie des cordes, par exemple.
Intervenant 1
Voilà. Est-ce que ces étranges contraintes d'empilement géométriques qu'on vient d'analyser pourraient être, au fond, ce qui donne sa forme et sa stabilité à la matière elle-même ? Ça
Intervenant 2
donne matière à réfléchir.
Intervenant 1
C'est le cas de le dire. Merci de nous avoir suivis et à bientôt pour une nouvelle Plongée mathématique.
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