12 sept. 2017 · 22 min
Même aire, mêmes pièces ? Le théorème de Bolyai-Gerwien
Dans cet épisode audio, suivez pas à pas les découpes en triangles, rectangles et carrés qui établissent l’équidécomposition de deux polygones de même aire.
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Intervenant 1
Bienvenue dans le podcast du magazine Tangente. Aujourd'hui, on va commencer avec une petite image. Prenons un puzzle en bois classique posé sur une table.
Intervenant 2
Ouais, un tangram, par exemple.
Intervenant 1
C'est ça, voilà. Disons qu'il forme un carré parfait une fois qu'il est assemblé. On démonte les pièces, on les étale devant nous. Et la question, c'est est-ce qu'on a la certitude mathématique absolue qu'en réarrangeant vraiment exactement ces mêmes pièces, on peut former une autre figure ?
Intervenant 2
Genre un hexagone régulier ?
Intervenant 1
Exactement, ou une étoile. Et ça sans ajouter ni enlever une seule petite pièce de bois.
Intervenant 2
Bah c'est le genre de question qui a l'air hyper simple comme ça, mais qui cache en fait un gouffre de complexité géométrique.
Intervenant 1
Et j'imagine que la réponse n'est pas évidente quoi.
Intervenant 2
La réponse courte, c'est que oui, c'est toujours possible. Mais, et c'est un grand mais, le chemin pour le prouver mathématiquement a demandé vraiment des décennies. Ça a impliqué des esprits brillants et surtout des approches théoriques diamétralement opposées.
Intervenant 1
Et c'est précisément l'objet de notre exploration en profondeur aujourd'hui. On va se plonger dans les archives du magazine Tangente en s'appuyant sur un article super intéressant qui s'intitule « 4 auteurs pour un théorème ».
Intervenant 2
Un très bon article, oui.
Intervenant 1
Notre mission, ça va être de décortiquer un peu ce problème vertigineux. C'est souvent perçu un peu comme le problème inverse du jeu de Tangram, en fait.
Intervenant 2
Tout à fait. On va voir comment poser des règles strictes sur des concepts qui semblent évidents de prime abord.
Intervenant 1
Ouais. Et on va aussi découvrir une histoire de compétition intellectuelle assez savoureuse, et puis opposer deux méthodes de découpage qui n'ont absolument rien à voir l'une avec l'autre.
Intervenant 2
Alors pour commencer, la toute première étape pour aborder un problème comme ça, c'est de bien définir le cadre. Avant même de sortir nos ciseaux virtuels, il faut parler d'équidécomposabilité.
Intervenant 1
Oula, c'est un mot qui fait un peu
Intervenant 2
peur ça. Ouais, le terme est impressionnant, mais je te rassure, l'idée est hyper intuitive. C'est juste le terme technique pour dire que deux figures peuvent être décomposées en un nombre fini de pièces identiques en fait.
Intervenant 1
Donc, si je coupe mon carré en, je sais pas, 7 polygones, et que j'arrive à reformer un hexagone avec ces 7 mêmes polygones...
Intervenant 2
Les deux figures sont équidécomposables. C'est ça.
Intervenant 1
D'accord. Et j'imagine que la règle absolue, le péage à l'entrée pour avoir le droit de jouer à ce petit jeu, c'est que les deux figures de départ doivent avoir exactement la même surface.
Intervenant 2
Bah oui, évidemment.
Intervenant 1
On ne crée pas de matière à partir du vide, quoi.
Intervenant 2
Exactement. Le terme mathématique pour ça, c'est l'équivalence. Deux polygones sont équivalents s'ils partagent la même aire.
Intervenant 1
Mais l'article souligne bien qu'en géométrie, on ne peut pas juste se contenter d'une intuition physique.
Intervenant 2
Il faut des règles plus strictes.
Intervenant 1
Voilà. Cette équivalence, elle doit respecter trois piliers logiques incontournables. C'est essentiel pour qu'on puisse bâtir un théorème mathématique solide par-dessus.
Intervenant 2
Alors, voyons si je peux deviner ces piliers. Si on parle de règles logiques de base, la première, ça doit être de dire qu'une forme a la même aire qu'elle-même.
Intervenant 1
C'est ça. Bon, ça paraît un peu absurde de le dire à voix haute comme ça, mais c'est le point de repère zéro, non ? La réflexivité.
Intervenant 2
C'est exactement le point de repère zéro, oui. Si le système ne fonctionne pas pour une figure face à elle-même, ben tout s'écroule en fait. Ensuite, le deuxième pilier, c'est la symétrie.
Intervenant 1
Ok, donc la symétrie, ça veut dire que si le carré A a la même aire que l'hexagone
Intervenant 2
B,
Intervenant 1
alors l'hexagone B a la même aire que le carré A. C'est une rue à double sens, en gros.
Intervenant 2
Tout à fait. C'est pas du tout comme de dire A est plus grand que B.
Intervenant 1
Ah oui, parce que ça, ça marcherait pas dans l'autre sens, quoi.
Intervenant 2
Voilà, c'est une distinction cruciale. Et enfin, le troisième pilier, et c'est celui qui va être vraiment le moteur de toutes nos démontrations par la suite, c'est la transitivité.
Intervenant 1
La transitivité, d'accord.
Intervenant 2
En gros, si la figure A a la même aire que B, et que B a la même aire que
Intervenant 1
C... Alors, A a la même aire que C, B sert juste de pont entre les deux.
Intervenant 2
Exactement, B joue le rôle de pont.
Intervenant 1
Bon alors, l'air est sanctuarisé, on a nos trois piliers. Mais il reste une autre contrainte physique dans notre jeu, c'est la question des mouvements autorisés.
Intervenant 2
Ah oui, comment on manipule les pièces ?
Intervenant 1
C'est ça. Concrètement, comment on a le droit de bouger ces pièces sur notre table imaginaire ?
Intervenant 2
Eh bien, le cadre de l'article se restreint à la géométrie euclidienne et à ce qu'on appelle le groupe des isométries.
Intervenant 1
Les isométries.
Intervenant 2
En fait, une isométrie, c'est tout simplement une transformation qui garde intactes les longueurs et les angles. Donc pas de déformation en élastique, on n'étire rien du
Intervenant 1
tout.
Intervenant 2
Les deux seuls mouvements permis, ce sont les translations, donc on fait glisser la pièce sur la table, et les rotations, on la fait tourner sur elle-même.
Intervenant 1
On glisse et on tourne, ok. Mais il y a un mouvement classique en géométrie qui conserve aussi les aires et les angles, c'est la symétrie axiale, non ?
Intervenant 2
L'effet miroir.
Intervenant 1
Ah, tu veux dire retourner la pièce ?
Intervenant 2
Ouais, pourquoi est-ce qu'on n'aurait pas le droit de prendre une pièce asymétrique et juste de la retourner comme une crêpe pour qu'elle s'emboîte parfaitement dans un coin ?
Intervenant 1
L'article est super intransigeant là-dessus. Les symétries axiales, techniquement, ce sont des isométries, c'est vrai.
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