Maths du vol : pourquoi le plus court n’est-il pas le mieux ?

Intervenant 10:00

Bienvenue dans le podcast du magazine Tangente. C'est vraiment un immense plaisir de se retrouver aujourd'hui pour une nouvelle exploration.

Intervenant 20:07

Bonjour à tous. Ravi d'être là, comme toujours, pour décortiquer un peu les rouages de notre monde.

Intervenant 10:13

Et aujourd'hui, on va parler d'un truc assez fascinant. La prochaine fois qu'on monte dans un avion, on devrait vraiment jeter un œil vers le cockpit en entrant.

Intervenant 20:21

C'est clair, parce qu'il n'y a pas de magicien aux commandes, même si parfois ça en a l'air.

Intervenant 10:26

Bah oui, parce que bien avant que les roues de la parraine quittent le tarmac, les ordinateurs de bord ont déjà résolu des problèmes mathématiques d'une telle complexité qu'un ordinateur portable standard fondrait s'il essayait de les calculer en temps réel.

Intervenant 20:39

Il prendrait feu, carrément.

Intervenant 10:41

Voilà. Donc aujourd'hui, on explore cette sensation super familière. On s'assoit dans la cabine, le moteur gronde, l'accélération nous plaque au siège et on s'émerveille qu'une machine de plusieurs centaines de tonnes fende l'air à 800 km par heure.

Intervenant 20:58

C'est vrai que c'est un miracle quotidien. Mais loin d'être magique, ce miracle repose sur une fondation totalement invisible, mais d'une solidité implacable. Les mathématiques.

Intervenant 11:09

Absolument. Et c'est la mission de notre plongée du jour. On s'appuie pour ça sur l'excellent article « Prendre l'air avec les mathématiques » qui a été rédigé par l'ingénieur et enseignant-chercheur Serge Laporte. L'idée, c'est de comprendre cette immense machinerie analytique qui tourne en coulisses.

Intervenant 21:25

Tout à fait. Et ce qu'il faut réaliser, c'est que le vol débute par des équations bien avant le décollage. Ce sont des calculs littéralement vitaux. On ne met pas juste le contact en espérant arriver à destination.

Intervenant 11:36

Ah, ça non. L'article montre bien que le tout premier casse-tête, c'est de déterminer la juste quantité de carburant. Et c'est pas trivial du tout.

Intervenant 21:45

Pas du tout, non. Trop de carburant, c'est du poids inutile qu'on se traîne.

Intervenant 11:48

Ce qui entraîne une surconsommation de kérosène, ironiquement.

Intervenant 21:51

Exactement. Mais de l'autre côté, pas assez de carburant.

Intervenant 11:55

Là, le danger devient immédiat.

Intervenant 21:56

C'est ça. Ensuite, l'ordinateur doit s'assurer que la longueur de la piste est mathématiquement suffisante pour la masse actuelle de l'avion. Et il faut aussi certifier que tous les obstacles environnants seront survolés avec une marge de sécurité.

Intervenant 12:09

Des obstacles genre un immeuble ou une montagne dans l'axe de décollage ?

Intervenant 22:14

Voilà. Et la réglementation là-dessus est hyper stricte. Donc pour garantir qu'on ne va pas percuter cette montagne au bout de la piste, Il est indispensable de pouvoir prédire le comportement physique de l'avion, vraiment seconde par seconde.

Intervenant 12:28

C'est ce qu'on appelle le calcul de la trajectoire, non ?

Intervenant 22:30

C'est ça. C'est le socle de toute la modélisation. En mathématiques appliquées, analyser cette évolution dans le temps, ça nécessite d'abord de diviser les variables du système en deux catégories bien distinctes.

Intervenant 12:41

D'accord, lesquelles ?

Intervenant 22:42

D'un côté, on trouve ce qu'on appelle les variables d'état. On les note traditionnellement avec la lettre X. Elles décrivent la situation de l'avion à un instant T, donc sa position en trois dimensions, son altitude, sa vitesse, mais aussi sa masse.

Intervenant 12:57

Ok, donc le X, c'est l'état des lieux.

Intervenant 22:59

Exactement. Et de l'autre côté, on a les variables de contrôle, notées U. Ce sont les paramètres que la machine ou le pilote peut modifier.

Intervenant 13:08

Comme la poussée des moteurs ou l'inclination des gouvernes, par exemple.

Intervenant 23:11

Tout à fait. C'est l'action qu'on impose au système.

Intervenant 13:14

Du coup, si on transpose ça à une situation de tous les jours, c'est un peu comme conduire une voiture, non ? La pression du pied sur la pédale d'accélérateur ou l'angle qu'on donne au volant, ce sont nos variables de contrôle. Le fameux U, c'est notre action.

Intervenant 23:27

Ouais, c'est une super analogie.

Intervenant 13:30

Et en réponse, la vitesse de la voiture et sa position sur la route changent. Et ça, ce sont nos variables d'état, le x. Donc l'action dicte le changement d'état.

Intervenant 23:39

C'est exactement le principe, voilà.

Intervenant 13:41

Sauf qu'avec un avion de ligne, il y a un paramètre qui rend la chose encore plus fascinante. La masse. Imagine un peu conduire une voiture qui, entre le point de départ et l'arrivée au supermarché, perdrait un tiers de son poids physique juste parce qu'elle a brûlé son essence.

Intervenant 23:57

C'est clair que ça ferait bizarre. Les freins, la direction, la dynamique, tout réagirait différemment au cours de route.

Intervenant 14:03

Bah oui. Et c'est exactement ce que l'ordinateur de bord d'un avion doit gérer en permanence.

Intervenant 24:08

La dynamique change tout le temps, ouais. Et pour lier mathématiquement cette action A à la réaction de l'état X, on fait appel aux lois de la physique. On intègre la cinématique, les forces aérodynamiques, la poussée, la gravité et bien sûr les modèles de consommation des moteurs.

Intervenant 14:24

Ça fait beaucoup de choses à calculer en même temps.

Intervenant 24:26

En effet. Mais tout ça est synthétisé dans une équation différentielle fondamentale. Formellement, elle s'écrit de cette façon. La dérivée de x par rapport au temps est égale à une fonction f qui dépend de l'état x à l'instant t et de la commande u à l'instant t.

Intervenant 14:43

D'accord. Donc la dérivée de x par rapport au temps, pour vulgariser un peu, c'est simplement la vitesse à laquelle les choses changent.

Intervenant 24:50

C'est ça.

Intervenant 14:50

Mais avoir cette équation écrite sur un tableau noir, ce n'est pas la même chose que de savoir où se trouve l'avion dans le ciel.