Théorème des restes chinois : pourquoi la réponse est 23 ?

Intervenant 10:00

Bienvenue dans le podcast du magazine Tangente. Un mot de bienvenue très chaleureux à toutes les personnes qui nous écoutent pour cette nouvelle exploration. Salut

Intervenant 20:08

Ursam, ravi d'être

Intervenant 10:10

là. Pour commencer, il faut s'imaginer un instant dans la peau d'un astronome de la Chine impériale, il y a plus de 1000 ans.

Intervenant 20:17

Déjà, le décor est planté.

Intervenant 10:18

Voilà. Le travail, c'est d'observer le ciel et la pression est juste immense. Parce que si on échoue à prédire le jour exact où, par exemple, le solstice d'été va s'aligner parfaitement avec une pleine lune, l'empereur pourrait considérer que le fameux mandat du ciel est rompu.

Intervenant 20:35

Ce qui n'est pas bon signe en général.

Intervenant 10:37

Non, c'est clair. Et les conséquences pour un astronome qui se trompait dans ses calculs étaient souvent, pour le dire très sobrement, fatales.

Intervenant 20:45

Ouais, pas de pression du tout,

Intervenant 10:46

quoi. C'est ça. Et on a souvent cette idée reçue, tu sais, que les grandes découvertes mathématiques naissent dans l'esprit de chercheurs très solitaires qui griffonnent des abstractions pures sur un tableau noir et qu'on leur trouve une utilité pratique seulement des décennies plus tard.

Intervenant 21:01

C'est un mythe qui est hyper tenace en fait, cette idée de l'abstraction d'abord et le monde réel ensuite. C'est

Intervenant 11:08

vrai que c'est l'image qu'on a.

Intervenant 21:09

C'est l'image d'une science majestueuse construite sur des théorèmes super rigoureux dès le premier jour. Sauf que l'histoire véritable des mathématiques est souvent beaucoup plus boueuse, beaucoup plus urgente.

Intervenant 11:22

Et

Intervenant 21:23

la mission de notre analyse d'aujourd'hui, qui est basée sur d'excellentes sources documentaires, c'est justement de comprendre comment une question, on peut le dire de vie ou de mort, pour un astronome antique, a donné naissance au fameux théorème des restes chinois.

Intervenant 11:37

Rien que le nom

Intervenant 21:38

déjà.

Intervenant 11:39

On va voir comment de simples recettes de calcul, trouvées totalement à tâtons, se sont élevées pour devenir l'un des piliers de l'arithmétique moderne.

Intervenant 21:46

Jusqu'à sécuriser nos données aujourd'hui, c'est ça ?

Intervenant 11:48

Exactement. Jusqu'à sécuriser de nos jours chaque achat par carte bancaire sur internet.

Intervenant 21:53

Bon, décortiquons tout ça. Parce qu'avant d'être une formule dans un manuel scolaire, les maths, c'était vraiment l'outil de survie par excellence pour organiser des sociétés entières. Et tout commence avec le temps. L'élaboration des calendriers, c'est sans doute le premier grand défi mathématique de l'humanité. C'est le point de départ de beaucoup de choses.

Intervenant 12:11

Mais le problème fondamental, c'est que la nature ne nous facilite vraiment pas la tâche. Les cycles naturels ne s'emboîtent pas parfaitement. Bah

Intervenant 22:18

non, ça ferait trop simple.

Intervenant 12:20

Une année solaire ne contient pas un nombre rond de mois lunaires. Et à cela s'ajoutent des cycles artificiels créés par l'homme. Par exemple, le cycle de 60 jours qui rythmait l'année chinoise.

Intervenant 22:31

Ouais, il fallait composer avec tout ça.

Intervenant 12:33

L'enjeu, c'était vraiment de synchroniser toutes ces horloges gigantesques. Et d'ailleurs, bien loin de la Chine, on rapporte que, dès le 7e siècle avant notre ère, le roi romain Numa Pompilius s'arrachait déjà les cheveux.

Intervenant 22:46

Littéralement.

Intervenant 12:47

Il s'arrachait les cheveux pour trouver un multiple commun entre les cycles de la Terre et ceux de la Lune.

Intervenant 22:53

C'est ça. Et c'est une approximation qui est absolument remarquable. En gros, on a découvert que 19 années solaires correspondent presque à la seconde près à 235 mois lunaires.

Intervenant 13:04

C'est fou quand on y

Intervenant 23:05

pense. Et ce qui nous donne un grand cycle global de 6940 jours. Au bout de cette période-là, le Soleil, la Lune et la Terre reprennent exactement la même position relative. Mais dans la Chine ancienne, cette recherche de cycles ne s'arrêtait vraiment pas là. La prédiction céleste, c'était une affaire de sécurité d'État.

Intervenant 13:23

Oui, le besoin d'harmonie entre l'Empire et l'ordre cosmique était total. Les savants devaient répondre à des dilemmes vertigineux, du genre, je cite, « Si un événement s'est produit à 15 jours du solstice d'été, sachant qu'un cycle solaire fait environ 365 jours, et à 7 jours de la pleine lune, sur un cycle de 28 jours, quand aura lieu la prochaine coïncidence exacte ? »

Intervenant 23:44

C'est exactement le genre de casse-tête qu'ils avaient.

Intervenant 13:46

Et pour que ceux qui nous écoutent se représentent la chose visuellement, on peut imaginer deux immenses roues dentées de tailles différentes qui tournent côte à côte.

Intervenant 23:53

J'aime bien cette

Intervenant 13:54

image. Ouais. L'une possède 365 crans, l'autre 28. On a peint un cran spécifique sur chaque roue en rouge vif et on fait tourner le mécanisme. La question mathématique, c'est après combien de clics, très exactement, ces deux crans rouges vont-ils s'aligner de nouveau ?

Intervenant 24:09

Ce qui est fascinant ici, c'est que cette image mécanique des roues dentées, ça définit très exactement ce qu'on appelle aujourd'hui un problème de congruence. Au lieu de chercher une quantité brute, on cherche une position relative. On navigue dans des mondes circulaires en fait, où les nombres tournent en boucle. Et ça, c'est l'essence même du théorème des restes chinois.

Intervenant 14:29

Tourner en boucle pour trouver le point de rencontre.

Intervenant 24:31

C'est ça, on veut trouver une valeur unique qui respecte simultanément les contraintes de plusieurs cycles différents qui sont superposés.

Intervenant 14:39

Sauf qu'à cette époque-là, il n'y a pas de lettre X ou Y, il n'y a pas d'équation posée proprement sur une feuille avec un stylo.

Intervenant 24:47

Ah bah non, pas du

Intervenant 14:48

tout. Du coup, comment ces astronomes arrivaient-ils à manipuler des nombres aussi massifs ?