Des gammes aux fractales : quand les maths composent

Intervenant 10:00

Bienvenue à toutes et à tous dans le podcast du magazine Tangente. Aujourd'hui, on plonge au cœur d'un mystère vraiment insoupcionné.

Intervenant 20:09

Ah, ça, c'est le moins qu'on puisse dire.

Intervenant 10:10

Ouais, on va littéralement déchiffrer un code ancestral qui se cache en pleine lumière. Ou plutôt en plein son, en

Intervenant 20:17

fait. Exactement.

Intervenant 10:19

Parce que dans notre imaginaire collectif, il y a cette frontière hyper étanche entre deux mondes, tu vois.

Intervenant 20:24

Oui, l'émotion d'un côté et la raison de l'autre.

Intervenant 10:26

C'est ça. D'un côté, on a la rigueur froide, calculatoire et implacable des mathématiques. Et de l'autre, la beauté pure, spontanée de la musique.

Intervenant 20:36

L'émotion brute contre l'équation stérile, en somme.

Intervenant 10:39

Voilà. Sauf que la révélation vertigineuse de notre exploration d'aujourd'hui, c'est que ces deux univers sont secrètement mariés depuis la nuit des temps.

Intervenant 20:48

Complètement. Cette dichotomie entre émotions et calculs, c'est vraiment une illusion moderne.

Intervenant 10:53

Donc, notre mission aujourd'hui, c'est de comprendre comment les processus itératifs, les algorithmes, ont secrètement façonné la musique, de Bach jusqu'à l'avant-garde.

Intervenant 21:02

Et c'est un programme chargé, parce que la composition musicale a de tout temps relevé d'une discipline hautement structurelle, quasi architecturale en fait. C'est fou quand on y pense. Bien avant le premier ordinateur, les grands compositeurs opéraient avec des cerveaux de mathématiciens. Leur matériau n'était pas le marbre, mais le temps et les fréquences.

Intervenant 11:20

Mais oui, c'est ça. J'aime beaucoup l'idée de la musique comme architecture invisible.

Intervenant 21:24

C'est exactement ça. Agencer des hauteurs de notes, ça exige des logiques itératives, d'une précision chirurgicale.

Intervenant 11:30

Du coup, quand on contemple une cathédrale, on est frappé par la lumière des vitraux, par la majesté de la nef. Ça, c'est l'émotion de la mélodie.

Intervenant 21:37

Ouais, on regarde la surface.

Intervenant 11:39

Voilà. Mais on oublie totalement les arcs boutants, les calculs de répartition des charges, toutes ces fondations enfouies sous terre. Les maths, ce sont les forces invisibles qui tiennent la partition de boue.

Intervenant 21:51

Et pour pousser cette métaphore géométrique jusqu'au bout, avant même d'ériger des voûtes complexes, le constructeur doit d'abord calibrer ses briques.

Intervenant 11:59

Ses briques, c'est-à-dire ?

Intervenant 22:01

En musique, la brique fondamentale, le matériau de base, c'est la gamme.

Intervenant 12:04

Ah d'accord.

Intervenant 22:06

Et mathématiquement parlant, une gamme n'est rien d'autre qu'une itération d'intervalles, une division géométrique de l'espace sonore, si tu préfères.

Intervenant 12:13

Je vois l'idée. On part d'une fréquence racine et on applique une règle de calcul pour générer les notes suivantes.

Intervenant 22:19

Exactement.

Intervenant 12:20

Mais ça, l'Antiquité avait déjà commencé ce travail avec Pythagore, non ?

Intervenant 22:24

Absolument. L'école pythagoricienne a créé le premier grand processus itératif musical. Le concept est d'une pureté arithmétique totale. C'est l'itération de la quinte. C'est-à-dire ? Comment on fait concrètement ?

Intervenant 12:38

On prend une corde vibrante, on réduit sa longueur selon un ratio précis pour obtenir la note située à une quinte au-dessus.

Intervenant 22:44

Ok.

Intervenant 12:44

Puis on prend ce nouveau résultat et on génère une nouvelle quinte. Et encore et encore. Ça engendre une échelle de notes.

Intervenant 22:51

Ouais mais enfin, sauf qu'à force d'itérer des fractions pures, la géométrie finit par dérailler, non ?

Intervenant 12:56

Ah ! Très juste.

Intervenant 22:58

Parce qu'on sait que les cycles de quintes de Pythagore ne se referment jamais parfaitement.

Intervenant 13:02

Le fameux coma pythagoricien.

Intervenant 23:04

Voilà. Ce qui créait des dissonances horribles dès qu'on essayait de changer de tonalité. Ce qui nous amène, bah, inévitablement, au tour de force de Jean-Sébastien Bach au XVIIIe siècle. La gamme bien tempérée. C'est une vraie victoire du pragmatisme mathématique. La décision est radicale, on force la nature en fait.

Intervenant 13:23

On triche un peu avec la physique quoi.

Intervenant 23:25

C'est ça. On décide de diviser l'octave en 12 demi-tons strictement égaux. Géométriquement, on a standardisé l'espace.

Intervenant 13:33

Ce qui fait que les intervalles ne sont plus acoustiquement purs.

Intervenant 23:36

Exact. Mais cette triche brillante permet enfin de voyager librement à travers toutes les tonalités sans heurter l'oreille.

Intervenant 13:43

Donc, le terrain de jeu est plat, les compositeurs ont leurs briques standardisées, et c'est là qu'ils vont commencer à s'amuser avec la symétrie, notamment en inventant le canon.

Intervenant 23:52

Ah le canon, c'est fascinant !

Intervenant 13:54

Pour le grand public, un canon, c'est la comptine Frère Jacques, tu vois. Une voix commence, la deuxième chante la même chose avec un petit retard. Mais avec Bach, on est loin de

Intervenant 24:04

ça. Frère Jacques, c'est l'application la plus rudimentaire de ce qu'on appelle un canon par translation.

Intervenant 14:09

Ok, le terme technique se pose là.

Intervenant 24:12

Derrière ça se cache une vraie rigueur. Si on prend la première voix, le chef de file, appelé le dux, comme une fonction du temps, et bien la voix suiveuse, le comès, c'est le résultat d'une transformation spatio-temporelle.

Intervenant 14:23

Wow ! Donc on introduit un décalage temporel constant ?

Intervenant 24:27

Exactement. Et souvent, une transposition de hauteur en plus.

Intervenant 14:30

Attends, si on essaye de visualiser ça. C'est un peu comme si on prenait un calque de la mélodie sur la partition, qu'on le faisait glisser de quelques centimètres vers la droite pour le retard et ensuite de quelques centimètres vers le haut pour changer la hauteur des notes. Bach fait exactement ça dans son Offrande musicale, non ?

Intervenant 24:47

Tout à fait.