27 sept. 2017 · 23 min
Globe de Chaplin : parabole ou polynôme de degré 3 ?
Dans cet épisode, suivez les étapes qui transforment dix images du Dictateur en points, puis comparent une parabole à une régression de degré 3.
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Un contenu original Tangente, adapté en podcast avec l’aide de l’IA et validé par notre rédaction. Comment ça marche ?
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Intervenant 1
Bienvenue dans le podcast du magazine Tangente. Aujourd'hui, on va s'attaquer à un problème, enfin une question plutôt, que je pense absolument tous les profs de maths ont entendu au moins une fois dans leur carrière.
Intervenant 2
Ouais, le fameux « à quoi ça sert ? »
Intervenant 1
Exactement. À quoi ça sert les maths ? C'est quoi une fonction ? Pourquoi on fait tout ça ? Pourquoi on trace des courbes ?
Intervenant 2
Et c'est une vraie question, parce que les mathématiques, surtout quand on arrive au lycée ou dans le supérieur, ça souffre d'un déficit d'incarnation assez fort. On a des élèves qui se retrouvent face à un tableau couvert de symboles, de fonctions, de X, de Y, et la déconnexion avec le monde physique réel, avec leur quotidien, elle est parfois brutale.
Intervenant 1
C'est très abstrait, c'est vrai. Et notre mission dans cette exploration, pour essayer de rendre tout ça tangible, ça va être d'analyser des documents qui connectent justement le programme du lycée au monde réel. Et plus précisément, on va se pencher sur un très grand classique du 7e art.
Intervenant 2
Tout à fait. On va remonter en 1940 avec Charles Chaplin.
Intervenant 1
Un génie.
Intervenant 2
Absolument. Il sort Le Dictateur et il y a cette scène, je suis certaine que vous l'avez en tête, où il est en uniforme, seul, dans son immense bureau.
Intervenant 1
Ah oui, et il s'approche d'un globe terrestre géant.
Intervenant 2
C'est ça. Il s'approche du globe, il le soulève et là, surprise, le globe se révèle être un ballon de Baudruf. Et il commence une espèce de danse presque hypnotique avec.
Intervenant 1
Ouais, il le frappe, il le fait rebondir sur sa tête, sur ses talons, c'est d'une grâce absolue en fait.
Intervenant 2
Voilà, il le regarde flotter. Et cette scène, elle a été disséquée des centaines de fois par les critiques de cinéma pour sa satire politique évitante. Mais aujourd'hui, on va l'analyser sous un angle totalement inattendu.
Intervenant 1
Les mathématiques.
Intervenant 2
Exactement. On va chercher la géométrie, l'équation mathématique qui est cachée à l'intérieur de ce mouvement de ballon. Chercher la géométrie dans une scène de Chaplin, c'est vraiment une manière de construire un pont pour les élèves.
Intervenant 1
Et pour faire ça, les documents qu'on a analysés pour cette émission, ils proposent d'utiliser des outils très accessibles pour extraire la rigueur algébrique de cette vidéo. Et ce qui m'a frappé, c'est l'outil central qui est mentionné dans nos sources.
Intervenant 2
La calculatrice ?
Intervenant 1
Ouais, une calculatrice Casio. C'est la graphe 90 plus E, si je lis bien, qui a un menu spécifique nommé Plot Image. Et je vous avoue que quand j'ai lu ça, ça m'a fait tiquer.
Intervenant 2
Ah bon ? Pourquoi ?
Intervenant 1
On est à une époque où le moindre smartphone a des algorithmes de suivi de mouvement en 4K. L'intelligence artificielle peut faire de la modélisation physique en temps réel sur une vidéo. Pourquoi on s'encombre d'un écran de calculatrice pour faire du traitement d'image aujourd'hui ?
Intervenant 2
C'est une excellente question et la réponse est purement pédagogique. Le choix de la technologie ici, ce n'est pas une question de puissance
Intervenant 1
brute.
Intervenant 2
Si vous utilisez un logiciel surpuissant qui trace la courbe automatiquement pour l'élève, le logiciel agit comme une boîte noire.
Intervenant 1
Ouais, la magie opère, mais on ne sait pas comment.
Intervenant 2
Exactement. L'utilisateur voit le résultat final, mais le processus cognitif, la construction de la donnée, ça lui échappe totalement. Avec le menu de cette calculatrice, l'approche est volontairement manuelle, presque artisanale en fait.
Intervenant 1
Donc, on met les mains dans le cambouis ?
Intervenant 2
C'est ça, on importe une séquence vidéo, mais elle est découpée en plusieurs images fixes. Et ensuite, c'est l'utilisateur, donc l'élève, qui vient placer un point sur l'écran avec ses touches directionnelles pour marquer la position de l'objet.
Intervenant 1
Image par image ?
Intervenant 2
Voilà, on valide, l'image suivante s'affiche, on replace un nouveau point et ainsi de suite.
Intervenant 1
C'est marrant parce qu'en lisant cette description dans la source, l'image qui m'est venue en tête, c'est le flipbook. Ah oui, les folioscopes. Voilà, ces petits carnets qu'on effeuille super vite sous le pouce pour animer un dessin statique. Mais là, la démarche qu'on nous propose, c'est presque l'inverse d'un flipbook.
Intervenant 2
Totalement l'inverse, oui.
Intervenant 1
On fige un mouvement continu, on l'arrête image par image, et le but c'est d'en extraire des coordonnées géométriques. Donc on ne dessine pas pour créer le mouvement, on dissèque le mouvement pour trouver le dessin qui est caché derrière.
Intervenant 2
C'est une très belle analogie. En fait, le processus isole la trajectoire pour en faire vraiment un objet d'étude à part entière. Une fois que vous avez placé vos points sur toutes les images, la vidéo disparaît.
Intervenant 1
Ah, la vidéo s'efface.
Intervenant 2
Ouais, elle s'efface. Et il ne reste sur votre écran qu'un nuage de points. Le mouvement s'est transformé en un graphe immobile. Et c'est sur ce graphe-là que l'analyse algébrique va pouvoir commencer. Mais bon, pour que ça ait un sens, il faut que la phase de capture soit irréprochable.
Intervenant 1
Et c'est là qu'on rentre dans le vif du sujet avec Chaplin. Parce que ce cas pratique, il regorge de pièges physiques. C'est un cauchemar à modéliser en fait.
Intervenant 2
Un vrai cauchemar,
Intervenant 1
oui. L'article détaille le protocole. D'ailleurs, petite parenthèse pratique, on apprend que le fichier utilisé s'appelle très joliment le polynôme de Charlie Chaplin. J'adore ce nom. Moi aussi. Et il est téléchargeable gratuitement sur casioeducation.fr dans la rubrique la pédagogie pour être transféré par câble USB sur la calculatrice. Donc on a ce fichier qui contient très exactement 10 images extraites de la scène. 10 images où le ballon monte et redescend. Mais physiquement, un ballon de baudruche, c'est pas une boule de billard.
Intervenant 2
Non, c'est mou, ça se déforme.
Intervenant 1
Voilà. Ça n'est pas rigide, ça se déforme sous les coups de Chaplin, ça tourne sur lui-même, les reflets de la lumière changent d'une image à l'autre. Comment on fait ? Parce que si je place mon curseur sur le haut du ballon sur l'image 1 et puis sur le bas sur l'image 2 parce que le ballon a tourné, ma trajectoire finale, ça va être les montagnes russes, pas une courbe mathématique.
Intervenant 2
Vous avez mis le doigt sur le problème central de la prise de mesure. L'approximation, ça ruine complètement le modèle. En mécanique classique, quand on étudie la trajectoire d'un objet, on s'intéresse au mouvement de son centre de masse, son centre de gravité si vous préférez.
Intervenant 1
Sauf que le ballon est opaque, on ne peut pas voir son centre.
Intervenant 2
Exactement. Donc la consigne stricte qui est donnée dans la source pour contourner ce problème, c'est de choisir une cible visuelle, une cible qui soit à la fois hyper précise et surtout immuable sur l'objet lui-même.
Intervenant 1
Et ils choisissent quoi du coup ?
Intervenant 2
Dans ce cas précis, on demande à l'élève de pointer systématiquement le pôle sud de la map au monde qui est peinte sur le ballon.
Intervenant 1
Ah c'est malin ! On utilise la géographie du faux globe terrestre pour ancrer notre repère.
Intervenant 2
Voilà, parce que ce pôle sud, c'est un point de repère qui subit la même translation que le centre de masse global du ballon. En visant toujours ce point précis, on élimine une grande partie du bruit visuel qui est causé par la rotation de la baudruche.
Intervenant 1
C'est fascinant.
Intervenant 2
Mais malheureusement, ce n'est pas le seul obstacle.
Intervenant 1
Évidemment.
Intervenant 2
Il y a un problème encore plus fondamental qui apparaît. Et ça, dès qu'on passe de la première à la deuxième image.
Intervenant 1
Oui, j'ai vu ça dans la malice de nos sources. Et c'est un détail qui relève presque de l'histoire du cinéma, en fait.
Intervenant 2
Tout à fait.
Intervenant 1
On sait que Chaplin, c'était un réalisateur qui cadrait souvent très large pour qu'on voit tout son corps. Mais la caméra, elle, n'était jamais totalement statique. Et quand on regarde nos dix images fixes sur la calculatrice, on s'aperçoit que l'arrière-plan, il bouge. Il
Intervenant 2
bouge beaucoup même.
Intervenant 1
Il y a une grande statue, une sorte de buste, posée sur un meuble en fond de décor. Sur la première image, elle est complètement collée au bord gauche du cadre. Et sur la deuxième image, elle s'est décalée vers la droite. En fait, la caméra a fait un léger panoramique pour suivre Chaplin.
Intervenant 2
Et ça, mathématiquement, ça soulève un problème majeur. C'est lié à la notion de référentiel.
Intervenant 1
Expliquez-nous
Intervenant 2
ça. Si l'utilisateur place ses points en se basant sur les bords de l'écran de la calculatrice, il commet une erreur conceptuelle grave.
Intervenant 1
Parce que les bords de l'écran, c'est le cadre de la caméra.
Intervenant 2
Exactement. Si la caméra bouge, votre référentiel est mobile. Donc les coordonnées que vous allez relever, ça ne sera pas la vraie trajectoire du ballon. Ça sera l'addition de deux mouvements distants, le mouvement du ballon lui-même, plus le mouvement de la caméra qui panote.
Intervenant 1
Mais oui, c'est une illustration complètement involontaire de la relativité galiléenne.
Intervenant 2
C'est exactement ça.
Intervenant 1
C'est le fameux exemple, vous savez, si on observe une pomme tomber dans un train en marche, mais qu'on regarde ça depuis le quai de la gare.
Intervenant 2
On ne voit pas une ligne droite verticale.
Intervenant 1
Non, on voit une courbe parce qu'on additionne la chute de la pomme et la vitesse horizontale du train. Et là, dans notre vidéo de Chaplin, si on ne corrige pas ce repère, on est en train d'analyser la trajectoire du globe vue par un caméraman qui tremble ou qui bouge et non pas la trajectoire réelle du globe dans la pièce.
Intervenant 2
Et la modélisation devient fausse, peu importe la justesse de vos calculs derrière.
Intervenant 1
Du coup, comment la méthode détaillée dans l'article résout ce casse-tête ? Parce que ça a l'air compliqué à corriger sur une calculatrice.
Intervenant 2
C'est contraignant, c'est vrai, mais c'est absolument indispensable. La solution, c'est de redéfinir mathématiquement l'origine du repère, donc le fameux point de coordonnées 0,0, sur chaque image individuelle. Et ce, avant même de placer le point sur le pôle sud du ballon.
Intervenant 1
Wow, sur chaque image ?
Intervenant 2
Sur les 10 images et pour trouver un point zéro qui soit fiable, on va utiliser ce qui ne bouge pas dans la pièce.
Intervenant 1
La fameuse statue.
Intervenant 2
Voilà, l'utilisateur doit d'abord placer l'origine du repère très exactement au milieu de la tête de cette statue en arrière-plan. Il le fait sur l'image 1, puis il passe à l'image 2 et là, il doit déplacer à nouveau l'origine du repère sur la tête de la statue qui s'est décalée sur l'écran.
Intervenant 1
C'est super astucieux. En fait, en forçant l'origine du graphique à s'ancrer sur un objet physiquement immobile dans le décor, on annule mathématiquement le mouvement de la caméra.
Intervenant 2
On soustrait le mouvement de la caméra, oui.
Intervenant 1
Et donc les coordonnées de notre pôle sud du ballon, elles seront désormais calculées par rapport à la statue et non plus par rapport au bord de l'écran. On a isolé le mouvement pur du ballon.
Intervenant 2
C'est un effort de rigueur qui est colossal. On demande beaucoup de concentration à l'élève, mais c'est la seule façon d'obtenir des données propres. Et une fois que ce travail minutieux est réalisé sur les dix images, le logiciel nous affiche nos dix points dans un repère orthonormé classique.
Intervenant 1
Et visuellement, ça donne quoi ?
Intervenant 2
La forme qui se dessine est très familière. Les points montent, ils atteignent un sommet, puis ils redescendent.
Intervenant 1
Le profil classique d'un jet de projectile.
Intervenant 2
Voilà.
Intervenant 1
Une parabole.
Intervenant 2
Une parabole, oui. Et la parabole, en mathématiques, c'est la traduction graphique d'un polynôme du second degré. Dans le cadre de cette modélisation manuelle qu'on fait sur la calculatrice, la méthode utilise son expression sous forme canonique.
Intervenant 1
Alors attendez, la forme canonique, je me souviens de mes cours, ça s'écrit P de X égale A facteur de X moins K au carré plus H.
Intervenant 2
C'est ça, P de X égale A entre parenthèses X moins K au carré plus H.
Intervenant 1
Arrêtons-nous une seconde là-dessus, parce que pour ceux de nos éditeurs qui n'ont pas manipulé de formes canoniques depuis le lycée, ces lettres A, K et H, elles peuvent sembler hyper abstraites. Si on sort de l'algèbre pur pour retourner dans le bureau du dictateur avec notre ballon, ça représente quoi concrètement ces trois paramètres dans le monde réel ?
Intervenant 2
Eh bien, c'est tout l'intérêt de la forme canonique et c'est pour ça qu'on l'utilise en pédagogie. Elle est très visuelle. Prenons le paramètre H par exemple.
Intervenant 1
D'accord.
Intervenant 2
H représente l'ordonnée du sommet de la parabole.
Intervenant 1
L'ordonnée, donc l'axe vertical ?
Intervenant 2
Exactement. Autrement dit, c'est l'altitude maximale que le ballon de baudruche va attendre dans la pièce avant de commencer à retomber.
Intervenant 1
Ok, très clair. Et le paramètre K alors, qui est dans la parenthèse avec le X ?
Intervenant 2
Ok, c'est l'abscisse de ce même sommet, donc c'est la position horizontale exacte du ballon au moment précis où il atteint son plafond de vol. Avec K et H, vous avez les coordonnées exactes du sommet de votre courbe.
Intervenant 1
Super clair. Et il nous reste le paramètre A, celui qui multiplie toute la parenthèse au début.
Intervenant 2
Alors le coefficient A, lui, il contrôle l'ouverture de la parabole, sa courbure si vous voulez. S'il est positif, la parabole est tournée vers le haut, ça fait un sourire.
Intervenant 1
Comme un bol.
Intervenant 2
Voilà. Sauf qu'ici, notre ballon, il monte puis il descend, donc notre parabole, elle est tournée vers le bas. Le coefficient A sera donc forcément négatif. Et plus sa valeur absolue est grande, plus la parabole sera étroite. Ça traduirait une ascension et une chute très brutale.
Intervenant 1
Et dans la vraie vie, l'équivalent physique de cette courbure pour un projectile en chute libre, c'est l'intensité du champ de pesanteur, non ?
Intervenant 2
Exactement. C'est la gravité terrestre.
Intervenant 1
Donc, si je résume, en demandant à l'élève de modifier ces trois paramètres à la main sur sa calculatrice, on est littéralement en train de lui demander de jouer avec la réalité physique de la scène.
Intervenant 2
C'est exactement ça.
Intervenant 1
S'il change H, il soulève le plafond de la pièce. S'il change A, il modifie la gravité de la Terre. C'est génial. Et l'article de Tangente mentionne une tentative avec des chiffres précis pour ajuster la courbe.
Intervenant 2
Oui, l'auteur propose d'essayer certains paramètres. Il dit prenons a égale moins 1, k égale 2,9 et h égale 1,6.
Intervenant 1
Ce qui nous donne l'équation p de x égale moins x virgule 2 virgule 9 au carré plus 1 virgule 6.
Intervenant 2
Et si on développe cette expression pour retrouver la forme polynomiale classique, vous savez le fameux ax carré plus bx plus c qu'on voit partout ?
Intervenant 1
Oui.
Intervenant 2
On obtient l'équation p de x égale moins x carré plus 5 virgule 8 x 6 virgule 81. C'est une proposition de modèle mathématique. Une fois rentrée, la calculatrice va instantanément tracer la courbe correspondante par-dessus les dix points rouges de notre relevé.
Intervenant 1
Et le verdict ?
Intervenant 2
Bah, ça ne marche pas.
Intervenant 1
Ouais, j'ai vu les captures d'écran dans l'article, elles sont cruelles. La jolie courbe bleue de l'équation qu'on vient de trouver, elle passe pas vraiment par les points rouges de la réalité. Enfin, elle est proche, elle donne bien l'allure générale du rebond, mais il y a des espaces, des décalages évidents sur certains points.
Intervenant 2
C'est un peu décevant visuellement.
Intervenant 1
Objet lancé en l'air, ça subit la gravité. La physique newtonienne, elle est formelle là-dessus. La loi de la chute des corps produit une accélération constante, ce qui se traduit mathématiquement par une parabole parfaite.
Intervenant 2
Un polynôme de degré 2, oui.
Intervenant 1
Notre équation théorique a raison, c'est la loi de l'univers. Alors pourquoi le ballon de Chaplin refuse-t-il de se plier à ce modèle canonique idéal ? C'est la faute de l'élève ?
Intervenant 2
Alors, l'écart vient d'avoir de la différence entre un modèle abstrait parfait et un environnement réel de mesure. Faut se rappeler que la théorie de Galilée ou de Newton, elle s'applique à la perfection pour un point matériel idéalisé évoluant dans le vide.
Intervenant 1
Ce qui n'est pas notre
Intervenant 2
cas. Pas du tout, Sam. Déjà, le placement manuel des points introduit inévitablement ce qu'on appelle un bruit de mesure. L'œil humain, il n'est pas capable de cibler très exactement le même pixel du pôle sud dix fois de suite sur un petit écran, sur une image des années 40 de résolution moyenne.
Intervenant 1
C'est
Intervenant 2
sûr. Et puis, les légers tremblements lors de la saisie avec les touches directionnelles, la petite approximation quand on replace le centre du repère sur la tête de la statue, tout ça, ça génère des micro-erreurs. Et ces micro-erreurs, elles viennent déformer la parabole parfaite.
Intervenant 1
D'accord. Donc, puisque l'humain est faillible au moment de manipuler les paramètres a, k et h à la main, l'étape suivante qui est proposée par nos sources, c'est de dire OK, on laisse l'algorithme prendre le relais.
Intervenant 2
Voilà, on utilise la machine.
Intervenant 1
On utilise la fonction de régression quadratique de la calculatrice. Pour faire simple pour nos auditeurs, c'est une méthode informatique, souvent basée sur le principe des moindres carrés, qui va tester des milliers de combinaisons à la seconde pour trouver la courbe de degré 2 qui minimise la distance totale entre son tracé et l'ensemble de nos 10 points imprécis.
Intervenant 2
C'est l'optimisation mathématique poussée à son maximum. Le calcul, pour le coup, il est instantané sur ces machines-là. Elles trouvent la meilleure parabole possible mathématiquement parlant pour ces données spécifiques.
Intervenant 1
Mais la grosse surprise de cette analyse, et c'est là que ça devient fascinant, c'est que même avec la régression algorithmique la plus fine, le modèle de degré 2 n'est toujours pas totalement satisfaisant.
Intervenant 2
Et non.
Intervenant 1
La courbe résiduelle montre que les points s'écartent encore du tracé. Ce n'est pas juste une erreur de l'élève qui a mal choisi ses paramètres. La meilleure parabole du monde ne colle pas au ballon.
Intervenant 2
C'est exactement le constat de l'article. Et face à ça, la source propose de changer d'approche et de monter en puissance.
Intervenant 1
C'est-à-dire ? Qu'est-ce qu'on fait ?
Intervenant 2
Puisque le polynôme de degré 2 s'avère trop rigide pour capturer la réalité de cette séquence, la solution explorée, c'est de demander à la calculatrice une régression polynomial de degré 3.
Intervenant 1
De degré 3.
Intervenant 2
Voilà. Une équation qui va prendre la forme ax³ plus bx² plus cx plus d. Et là, visuellement, le résultat est vraiment frappant. La nouvelle courbe épouse beaucoup plus intimement les variations de la trajectoire. Les petits décalages rebelles sont gommés.
Intervenant 1
Mais attendez, je vous arrête. J'ai un vrai problème avec ça. On vient juste de dire que la gravité, la chute des corps, c'est le degré 2, le fameux t² dans les équations de physique.
Intervenant 2
C'est vrai.
Intervenant 1
En passant au degré 3, on ajoute un paramètre mathématique, le x³, qui n'a aucune justification dans la physique de base d'un jet de projectiles. Est-ce qu'on n'est pas tout simplement en train de tricher là ? On tord les mathématiques pour que le dessin soit joli à l'écran, au mépris des lois de la physique ?
Intervenant 2
Alors, c'est une réaction très saine. Et si Chaplin jonglait avec une bille d'acier dans une chambre à vide, votre remarque serait implacable. On tricherait.
Intervenant 1
Mais... Mais revenons à la matérialité de notre objet. C'est
Intervenant 2
quoi ? C'est un ballon de boudruche ! Exactement ! Sa masse est négligeable par rapport à son volume. Il est très léger et très volumineux. Et dans l'ère du studio de cinéma, ce ballon subit une force de frottement fluide considérable. Et cette force, elle n'est pas constante. Elle est proportionnelle au carré de sa vitesse.
Intervenant 1
Ah oui, l'aérodynamique !
Intervenant 2
Sans compter qu'il subit également la poussée d'Archimède. L'air déplacé freine son ascension et ralentit sa chute. Résultat, la trajectoire d'un tel objet n'est pas du tout symétrique dans la vraie vie. Ce n'est pas une parabole parfaite. Le degré 2 est donc intrinsèquement incapable de modéliser la réalité aérodynamique d'un ballon de baudruche.
Intervenant 1
C'est brillant. En fait, la rigidité du degré 2 qu'on observait tout à l'heure, elle n'était pas seulement due à nos erreurs de clic ou au bruit de mesure. Elle était due à la simplification excessive de notre modèle physique de départ. On essayait de faire rentrer la réalité chaotique des fluides dans une petite boîte galiléenne beaucoup trop petite.
Intervenant 2
C'est tout à fait ça. L'ajout du terme au cube dans l'équation, le degré 3, il offre à la courbe la souplesse algébrique nécessaire pour simuler, en quelque sorte, ces variables physiques complexes. Ça lui permet de modéliser l'asymétrie induite par la résistance de l'air.
Intervenant 1
L'analogie qui s'impose quand on discute de ça, c'est celle de la confection d'un vêtement.
Intervenant 2
Comment ça ?
Intervenant 1
Le modèle de degré 2, c'est un peu comme une veste de prêt-à-porter de grande marque.
Intervenant 2
D'accord.
Intervenant 1
La coupe, théorique, est belle. La taille est standardisée sur un mannequin en plastique. Mais quand on met cette veste sur un vrai corps humain, avec ses asymétries naturelles, ça tire un peu au niveau des épaules ou ça flotte dans le dos. C'est pas parfait.
Intervenant 2
C'est une excellente image. Et le passage au degré 3, du coup ?
Intervenant 1
Le degré 3, c'est le travail du tailleur. On ajoute des coutures, on ajoute des pinces, de la complexité structurelle. Le vêtement perd un peu de sa perfection géométrique théorique, mais il gagne en ajustement pratique. Le modèle épouse enfin le mouvement réel du corps.
Intervenant 2
C'est exactement ça. Et la conclusion de cette expérimentation, en classe, elle ouvre des perspectives vertigineuses pour les élèves. Parce que la technologie nous permet de complexifier le modèle à l'envie. L'outil mathématique devient un terrain de jeu où l'on peut continuellement chercher l'ajustement le plus fin.
Intervenant 1
Et cette exploration montre remarquablement bien comment les mathématiques ne se contentent pas de décrire un monde idéal sur un tableau noir. Elles ont besoin de se frotter au réel. Elles doivent s'adapter au mouvement d'une caméra des années 40, aux caprices de l'air sur un bout de plastique et au tremblement de la main humaine qui place des points sur un écran. De la définition du repère de la statue au choix du degré de l'équation, chaque étape, c'est vraiment un dialogue entre le phénomène physique et sa traduction algébrique.
Intervenant 2
Un dialogue hyper riche, mais qui soulève pourtant une question très profonde, et je pense qu'il faut en parler en conclusion, concernant la limite même de cette logique. Je
Intervenant 1
vous
Intervenant 2
écoute. On vient de voir que l'ajout d'un degré de liberté, passé de 2 à 3, ça permet de mieux épouser la réalité observée. La tentation naturelle, pour un élève ou un chercheur, c'est de pousser le raisonnement jusqu'au bout. On a placé 10 points sur notre écran, n'est-ce pas ?
Intervenant 1
Oui, les 10 images du ballon.
Intervenant 2
Eh bien, un théorème mathématique fondamental nous garantit qu'il existe un polynôme de degré 9 qui passera très exactement, au pixel près, par chacun de ces dix points.
Intervenant 1
Mais ce serait l'équation ultime, une courbe parfaite qui touche chaque point de notre relevé, la perfection absolue sans aucune marge d'erreur.
Intervenant 2
L'erreur sur nos données passées serait effectivement de 0. Mais, et c'est là que réside le piège fondamental de l'analyse de données, ce polynôme de degré 9, pour réussir cet exploit, il serait tellement tordu, tellement sinueux pour réussir à passer par chaque imperfection humaine de notre placement, par chaque tremblement du caméraman, qu'il perdrait absolument tout sens physique. Si nous demandions à cette équation parfaite de prédire où se trouvera le ballon sur la onzième image, la suite du film qu'on n'a pas analysé, elle nous donnerait un résultat complètement absurde.
Intervenant 1
Parce qu'elle n'aurait pas modélisé la trajectoire réelle du ballon, elle aurait modélisé nos propres erreurs de mesure.
Intervenant 2
C'est exactement ça. C'est le phénomène redoutable du surapprentissage, ou overfitting pour ceux qui font des statistiques ou d'intelligence artificielle. Le
Intervenant 1
surapprentissage, d'accord.
Intervenant 2
Un modèle trop complexe, doté de trop de paramètres, ça devient un simple outil de mémorisation du bruit. Il devient incapable de généraliser, incapable de prédire l'avenir, parce qu'il est beaucoup trop obsédé par les défauts du passé. La quête du modèle mathématique parfait, ce n'est donc pas la quête de l'erreur zéro.
Intervenant 1
C'est quoi alors ?
Intervenant 2
C'est la recherche du juste équilibre entre la souplesse de l'équation et la rigidité de la loi physique sous-jacente.
Intervenant 1
La frontière délicate entre comprendre le monde et s'y noyer en somme.
Intervenant 2
C'est joliment dit oui.
Intervenant 1
C'est une conclusion qui donne vraiment matière à réflexion et ça va bien au-delà de la cinématographie de Charlie Chaplin. Et je pense qu'on laissera nos auditeurs méditer là-dessus. Merci beaucoup de nous avoir accompagnés dans cette plongée où le 7e art devient vraiment le prétexte à une magnifique leçon de géométrie et de physique.
Intervenant 2
C'était un vrai plaisir de décortiquer ça avec
Intervenant 1
vous. La prochaine fois que vous verrez un objet s'envoler, essayez d'imaginer la parabole invisible qui l'accompagne et tous les frottements qui viennent la déformer. Merci à tous pour votre écoute et à très bientôt pour une nouvelle analyse de la mécanique secrète de notre monde.
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