Fractions : comment dépassent-elles le partage ?

Intervenant 10:00

Bienvenue dans le podcast du magazine Tangente. Pour cette nouvelle exploration, imaginez juste un instant que le simple acte de couper une part de tarte contienne le même secret mathématique qui nous permet in fine de calculer l'infini.

Intervenant 20:14

C'est clair que c'est un sacré grand écart, c'est sûr, mais c'est pourtant la réalité. Aujourd'hui, l'idée, c'est d'oublier tout ce qu'on a pu apprendre à l'école primaire pour redécouvrir les fractions. Parce que derrière cette notion de partage qu'on croit super banal, il y a en réalité une puissance analytique vertigineuse.

Intervenant 10:33

Et c'est justement ce décalage, moi ça m'a interpellé en parcourant cet éditorial. Prenez une expression de notre quotidien comme une fraction de seconde.

Intervenant 20:41

Tout à fait.

Intervenant 10:41

On l'utilise vraiment sans réfléchir pour désigner un instant fugace. Mais mathématiquement parlant, on est déjà en train de convoquer deux nombres entiers. Un numérateur et un dénominateur.

Intervenant 20:53

Et un dénominateur plus grand, oui.

Intervenant 10:55

Voilà, plus grand pour quantifier cette fameuse durée. Et si on revient à notre tarte, couper une part, ça n'a rien d'un simple coup de couteau au hasard.

Intervenant 21:05

Ah ben non, le découpage mathématique, il est intraitable. Pour faire une part parfaitement équitable, vous ne donnez pas un coup de couteau instinctif quoi.

Intervenant 11:13

Non, c'est

Intervenant 21:14

sûr. Vous imposez presque secrètement une grille géométrique très stricte à cette tarte.

Intervenant 11:19

D'accord.

Intervenant 21:20

Vous la divisez virtuellement en un univers exact de Q par égal, avant d'en prélever très précisément P morceaux.

Intervenant 11:28

Donc en gros, on structure le chaos de la pâte feuilletée.

Intervenant 21:31

C'est une belle image, ouais.

Intervenant 11:32

Même.

Intervenant 21:33

Ouais, c'est fort. Je

Intervenant 11:34

trouve ça presque agressif, non ?

Intervenant 21:36

Le vocabulaire est hyper révélateur. Il y a un lien étymologique direct entre fractionner et fracturer.

Intervenant 11:43

Fracturer, ah ouais !

Intervenant 21:44

Créer une fraction, à l'origine, c'est vraiment l'acte violent de casser un objet. D'ailleurs, jusqu'à une certaine époque, on utilisait couramment l'expression « nombre rompu » pour en parler.

Intervenant 11:56

Des nombres rompus ? C'est vrai que fracture, ça résonne avec beaucoup plus de brutalité que fraction.

Intervenant 22:02

Exactement. Et d'ailleurs, le mathématicien Benoit Mandelbrot s'en est souvenu lorsqu'il a forgé le terme fractale.

Intervenant 12:10

Ah d'accord, et fractale.

Intervenant 22:11

Oui, il a choisi ce mot précisément pour suggérer cette idée, cette idée géométrique d'infinies brisures, de formes qui se cassent sans fin.

Intervenant 12:21

D'accord, donc on casse, on rompt l'unité, mais j'ai une vraie question à ce sujet.

Intervenant 22:26

Allez-y ! Si,

Intervenant 12:28

par sa nature même, une fraction représente le morceau d'un objet brisé, qu'est-ce qui se passe quand notre fraction devient plus grande que 1 ? Parce qu'on ne peut pas prendre 5 quarts d'une seule tarte, enfin c'est impossible. Pourquoi est-ce qu'on continue à utiliser cet outil dans ces cas-là ?

Intervenant 22:44

C'est là que le concept devient passionnant et s'émancipe complètement de l'objet physique. Quand la fraction dépasse la valeur de 1, elle ne représente plus seulement un bout de quelque chose, elle devient un rapport. Elle se transforme en une sorte de lunette pour observer des relations entre deux grandeurs.

Intervenant 13:02

Donc on passe d'un objet vraiment isolé à une comparaison concrète.

Intervenant 23:06

C'est le principe même de la proportionnalité, oui.

Intervenant 13:08

D'accord.

Intervenant 23:09

Si vous savez par exemple que trois ouvriers mettent deux jours à construire un mur, la fraction qui relie ces nombres, elle vous permet de déduire le temps nécessaire pour cinq ouvriers.

Intervenant 13:20

Ah, la règle de Troyes.

Intervenant 23:21

Voilà. Ce mécanisme, il connecte l'élégance des nombres entiers à la dynamique de la division pour prédire un résultat. C'est l'outil que tout le monde connaît, la fameuse règle de Troyes.

Intervenant 13:32

C'est fou. Notre bout de tarte est devenu une vraie machine à prédire des proportions. Et l'évolution, elle ne s'arrête pas là. Moi, j'ai eu un vrai moment de bascule en réalisant que notre écriture décimale classique

Intervenant 23:46

Les nombres à virgule,

Intervenant 13:46

oui. Voilà, les chiffres après la virgule sur nos écrans, ce ne sont en fait que des additions de fractions très formatées.

Intervenant 23:53

Des dixièmes, des centièmes, des millièmes, exactement. L'écriture décimale, elle standardise notre vision des nombres en utilisant exclusivement des puissances de 10 en dessous de la barre.

Intervenant 14:04

Ou des nominateurs.

Intervenant 24:06

Au dénominateur, c'est ça. C'est super pratique pour le quotidien, mais pour sonder des nombres beaucoup plus complexes, les mathématiques font appel à des méthodes plus profondes.

Intervenant 14:15

Comme quoi ?

Intervenant 24:16

Comme l'algorithme d'Euclide, par exemple.

Intervenant 14:18

Attendez, Euclide. Je croyais que c'était le grand nom de la géométrie, avec ses triangles et ses cercles. Quel est le rapport avec les fractions ?

Intervenant 24:25

Imaginez que vous vouliez paver une pièce rectangulaire, avec les plus grands carrés carrés possibles, sans jamais avoir à les couper.

Intervenant 14:34

Donc des carrés pleins.

Intervenant 24:35

Exact. L'algorithme d'Euclide, c'est la méthode géométrique pour trouver la taille parfaite de ce carreau. Et si on traduit ce processus de découpe successive en nombre, on obtient ce qu'on appelle des fractions continues.

Intervenant 14:49

Des fractions continues ?

Intervenant 24:51

Oui, des fractions qui s'imbriquent fin définiment les unes sous les autres.

Intervenant 14:55

D'accord, je visualise le pavage avec les carrés. Mais on finit bien par s'allaiter de paver la pièce, non ? Au bout d'un moment, on touche le mur.

Intervenant 25:02

Eh bien, pas avec tous les nombres.

Intervenant 15:04

Ah bon ?

Intervenant 25:04

Non. Pour certains nombres irrationnels, le processus continue vraiment à l'infini. Et c'est là qu'on touche à l'aboutissement ultime de l'outil, la notion de série.

Intervenant 15:16

Les séries ?

Intervenant 25:17

On ne se limite plus aux puissances de 10 et surtout, on ne s'arrête jamais. Une série, c'est l'addition d'une infinité de fractions.

Intervenant 15:24

Je vous arrête une seconde. Quand vous dites « additionner une infinité de fractions », mon cerveau imagine juste une calculatrice qui sature et affiche un message d'erreur.

Intervenant 25:34

C'est tout à fait normal.

Intervenant 15:35

Comment est-ce que le fait d'ajouter des choses éternellement peut aboutir à un résultat concret ? Ça devrait juste exploser vers l'infini, non ?

Intervenant 25:43

C'est là, c'est tout le miracle de l'analyse mathématique. Si les fractions que vous ajoutez deviennent de plus en plus minuscules, la somme totale finit par se stabiliser vers une valeur très

Intervenant 15:54

précise.

Intervenant 25:56

Prenez une des formules les plus célèbres par exemple. Si vous prenez 1, que vous soustrayez 1 tiers.

Intervenant 16:02

Donc 1 moins 1 sur 3.

Intervenant 26:04

Voilà. Ensuite, vous ajoutez un cinquième.

Intervenant 16:07

OK.

Intervenant 26:07

Vous soustrayez un septième.

Intervenant 16:09

Toujours en alternant.

Intervenant 26:10

Et ainsi de suite jusqu'à l'infini. Vous tombez miraculeusement sur la valeur exacte de Pi divisé par 4.

Intervenant 16:17

Attendez, vraiment ? Pi ?

Intervenant 26:19

Vraiment, en additionnant des fractions à l'infini, on engendre les formules considérées comme les plus pures et les plus belles des mathématiques.

Intervenant 16:27

C'est un voyage fascinant. Je pense que la prochaine fois que j'utiliserai l'expression « une fraction de seconde », je me souviendrai que je manipule l'outil fondamental qui relie le découpage d'une tarte au mystère de Pi.

Intervenant 26:40

C'est une belle conclusion. Et d'ailleurs, si on prend un peu d'auteur sur tout ça, il reste un paradoxe fascinant à méditer pour terminer.

Intervenant 16:47

Je vous écoute.

Intervenant 26:48

Si le mot fractale et les fractions partagent cette même idée d'infinie brisure, comme on l'a vu, l'acte de fracturer et de diviser indéfiniment ne serait-il pas paradoxalement, en mathématiques, le seul véritable moyen d'atteindre et de comprendre un tout infini ?

Intervenant 17:05

Eh bien, c'est une question qui laisse vraiment songeur. Merci pour cet éclairage.