Fractales lisses : une sphère dans un dé à coudre ?

Intervenant 10:00

Bonjour et bienvenue dans le podcast du magazine Tangente. Aujourd'hui, on va faire un petit exercice mental.

Intervenant 20:07

Oui, un exercice assez costaud même.

Intervenant 10:10

Oui, très costaud. Alors, imaginez un instant notre bonne vieille planète

Intervenant 20:15

bleue,

Intervenant 10:17

avec ses océans, ses continents, ses milliers de kilomètres de circonférence. Et maintenant, imaginez qu'on vous donne la mission un peu folle de faire rentrer cette terre tout entière à l'intérieur d'un simple dé à coudre.

Intervenant 20:31

Rien que ça ?

Intervenant 10:32

Rien que ça, oui. Ça semble difficile, mais si on ajoute une règle très stricte, c'est-à-dire que vous n'avez absolument pas le droit de modifier la moindre distance entre deux villes.

Intervenant 20:45

C'est là que ça devient amusant.

Intervenant 10:47

Amusant, oui, ou juste impossible, non ? Je veux dire, c'est physiquement et mathématiquement impossible.

Intervenant 20:53

À première vue, oui, totalement.

Intervenant 10:54

... du magazine Tangente, où on va décortiquer le mystère géométrique des fractales lisses. Et je dois vous avouer un truc pour commencer.

Intervenant 21:04

Dites-moi.

Intervenant 11:05

Le terme même de fractales lisses, ça me pose un vrai problème de logique. En fait, mon cerveau bloque.

Intervenant 21:11

Et c'est une réaction super saine, vraiment. L'intuition nous pousse naturellement à séparer ces deux concepts. Bah

Intervenant 11:17

oui parce

Intervenant 21:17

que... Quand on pense à une fractale classique, on a en tête des choses comme le chou romanesco. Ah oui ! Ou le célèbre flocon de Von Koch.

Intervenant 11:27

Voilà, exactement.

Intervenant 21:28

Et la définition même de ces objets, elle repose sur une auto-similarité infinie. Et ça, ça génère de la rugosité.

Intervenant 11:34

C'est ça. Plus on zoome, plus on trouve des détails piquants en fait.

Intervenant 21:38

C'est exactement ça. Plus vous zoomez sur le bord d'un flocon de Von Koch par exemple, plus vous les couvrez de nouvelles pointes. Vous ne trouverez jamais de ligne droite ou de surface bien plane.

Intervenant 11:49

C'est intrinsèquement piquant.

Intervenant 21:51

Voilà, c'est piquant.

Intervenant 11:53

Donc associer les mots fractales et lisses, pour moi, c'est un oxymore. C'est comme parler d'un silence assourdissant ou d'une obscurité lumineuse.

Intervenant 22:01

Oui, je vois très bien.

Intervenant 12:02

Une ligne brisée à l'infini, elle ne peut pas soudainement devenir douce au toucher. Donc, pourquoi est-ce que les mathématiciens ont ressenti le besoin d'inventer une chimère pareille ?

Intervenant 22:10

Eh bien, ils ne l'ont pas inventée juste pour le plaisir ou par provocation esthétique. Cette notion, elle est née d'une nécessité absolue pour contourner un mur théorique. Un mur. Et ce mur, c'est précisément l'expérience de pensée de la Terre et du dé à coudre que vous avez mentionné au début. D'accord. En géométrie, ce problème porte un nom très précis. On appelle ça réaliser une réduction isométrique de la sphère.

Intervenant 12:33

Réduction isométrique. J'entends les termes, mais concrètement, qu'est-ce que ça impose de si terrible à notre sphère de faire ça ?

Intervenant 22:42

Ça impose une dictature absolue des distances internes. Si on prend un exemple géographique réel tiré de nos sources, on prend la distance à vol d'oiseau entre Grenoble, dans l'Isère, et Addis Ababa, en Éthiopie. Sur notre Terre-Grandeur-Nature, ça fait environ 5300 km.

Intervenant 13:01

Ok, donc 5300 km, on garde ça en tête.

Intervenant 23:04

La règle de l'isométrie exige que sur votre micro-terre, celle qui est insérée dans le fameux dé à coudre...

Intervenant 13:10

Celle qui fait 2 cm quoi.

Intervenant 23:11

Voilà. Si vous tracez un trait à la surface entre ces deux mêmes villes, Grenoble et Addis Ababa, la longueur de cette ligne courbée doit toujours être de 5300 km, au millimètre près.

Intervenant 13:25

Attendez, attendez, vous me dites que si je prends un ruban à mesurer, mais genre un ruban à mesurer miniature, la courbe qui relie mes deux villes sur une sphère de 2 cm de large doit mesurer plus de 5000 km de long ?

Intervenant 23:38

C'est exactement ça.

Intervenant 13:39

Mais c'est absurde ! Je veux dire, mon premier instinct si je veux faire rentrer une grande surface dans un petit volume sans modifier ses longueurs, c'est, je sais pas, c'est de prendre une feuille de papier et de la froisser en boule.

Intervenant 23:50

Mais si l'instinct naturel, oui.

Intervenant 13:52

Sauf que quand je fais ça, je crée des arêtes, des pointes. Je perds tout aspect lisse.

Intervenant 23:56

Et votre instinct correspond parfaitement à l'état des connaissances mathématiques de la première moitié du XXe siècle.

Intervenant 14:01

Ah ouais.

Intervenant 24:03

Tout à fait. Les résultats classiques de rigidité en géométrie formulaient exactement ce que vous venez de décrire.

Intervenant 14:08

Que ça doit forcément se froisser ?

Intervenant 24:10

Oui. Les théorèmes affirmaient que si vous forcez une surface à se compresser dans un volume restreint, tout en préservant scrupuleusement sa métrique interne... Sa

Intervenant 14:18

métrique interne, donc ses distances ?

Intervenant 24:20

Voilà, ses distances. Eh bien l'objet résultant ne peut pas survivre sans se briser. La surface doit nécessairement développer des singularités.

Intervenant 14:27

Donc des plis, des cassures...

Intervenant 24:30

Des plis saillants, des arêtes vives. Il était formellement admis par tout le monde qu'une telle surface ne pouvait en aucun cas être lisse.

Intervenant 14:36

D'accord, donc la communauté scientifique avait acté que c'était impossible. Affaire classée. Mais du coup, si l'on en parle aujourd'hui, c'est que quelqu'un a trouvé une faille. Comment on a pu contourner une loi mathématique qui semblait aussi inviolable ?

Intervenant 24:51

La première brèche a été ouverte au milieu des années 50, par un mathématicien dont le grand public connaît bien l'histoire

Intervenant 14:57

d'ailleurs.

Intervenant 24:58

John Forbes Nash.