Fonctions : converger avec une mesure, pas avec une autre

Intervenant 10:00

Bienvenue dans le podcast du magazine Tangente. Aujourd'hui, on plonge dans un article vraiment fascinant qui s'intitule « Le monde des fonctions ».

Intervenant 20:08

Salut Sam ! Eh ouais, un très beau sujet, je suis ravie d'en parler.

Intervenant 10:11

C'est clair. En fait, imaginons qu'on mesure une pièce avec un mètre ruban et on trouve exactement 10 mètres de long. Et là, on prend un télémètre laser et pouf, la pièce n'a soudainement plus aucune limite.

Intervenant 20:24

Ce qui serait totalement absurde dans le monde physique.

Intervenant 10:27

Complètement absurde, oui. Mais dans l'univers mathématique abstrait des espaces de fonctions, changer d'outil de mesure, ça modifie littéralement la réalité géométrique de l'espace.

Intervenant 20:36

Alors, décortiquons tout ça. Comment on peut concrètement mesurer la taille d'une fonction abstraite ?

Intervenant 10:42

Eh bien pour ça, on utilise ce qu'on appelle une norme. Prenons un terrain de jeu classique, disons l'ensemble des fonctions continues sur un intervalle allant de 0 à 1. D'accord, c'est notre base en gros.

Intervenant 20:53

Exactement. Et là, plusieurs règles s'offrent à nous. La norme 1, par exemple, ça calcule toute l'air sous la courbe, c'est l'intégrale de sa valeur absolue. La norme 2, c'est un peu différent, on prend la racine carrée de l'intégrale de la fonction au carré.

Intervenant 11:07

Ah oui, un petit peu plus

Intervenant 21:09

technique. Un peu, oui. Et puis on a la fameuse norme infinie. Elle, elle ignore presque tout le parcours pour ne retenir que le point le plus haut, le maximum absolu atteint par la courbe.

Intervenant 11:20

Du coup, c'est un peu comme évaluer un athlète sur une course. La norme 1, ce serait de mesurer son effort total, son endurance du début à la fin de l'épreuve.

Intervenant 21:29

C'est une super analogie, oui.

Intervenant 11:30

Et la norme infinie, à l'inverse, ce serait de retenir uniquement sa vitesse de pointe absolue sur un instant très précis, en ignorant totalement le reste.

Intervenant 21:38

C'est tout à fait ça. Et selon qu'on cherche à recruter un marathonien ou un sprinter, on ne va pas du tout choisir la même règle.