Euler : pourquoi cinq solides, puis d’autres dimensions ?

Intervenant 10:00

Bienvenue dans le podcast du magazine Tangente. Aujourd'hui, on fait une plongée vraiment fascinante dans l'article « À la suite de l'air ».

Intervenant 20:07

Ouais, un article qui est assez vertigineux en fait. C'est

Intervenant 10:11

clair. L'idée de départ, c'est d'imaginer qu'on a, disons, une infinité de briques de construction identiques, mais qu'une règle physique nous interdit de créer plus de cinq formes géométriques parfaites en 3D.

Intervenant 20:23

Et c'est exactement la limite que nous impose notre propre réalité.

Intervenant 10:26

Voilà, c'est fou. Moi j'aime bien voir la célèbre formule de l'air comme une sorte de code-source de la réalité.

Intervenant 20:31

Avec la fameuse règle face plus sommet égale arête plus deux.

Intervenant 10:35

C'est ça. Mais intuitivement, comment une simple addition peut empêcher physiquement l'univers de nous laisser construire une sixième forme parfaite ?

Intervenant 20:43

Bah pour comprendre ça, faut vraiment s'éloigner un peu des équations et visualiser la matière elle-même. Si tu prends un triangle équilatéral.

Intervenant 10:53

D'accord, la figure de base.

Intervenant 20:54

Ouais. Pour faire un volume, tu dois les assembler. Si tu en attaches trois par un même sommet, l'ensemble va naturellement se replier sur lui-même.

Intervenant 11:03

Ça forme une pointe quoi, comme le haut d'une pyramide.

Intervenant 21:06

Exactement, c'est un tétraèdre. Ça marche super bien en 3D.

Intervenant 11:10

Jusqu'ici, c'est très logique, on visualise bien le truc.

Intervenant 21:12

Mais maintenant, essaye d'attacher six triangles de ce type autour d'un même sommet. Ah.

Intervenant 11:18

Ça rentre plus ?

Intervenant 21:19

Si. Les six triangles vont s'emboîter parfaitement, mais ils s'aplatissent complètement. Ça forme un hexagone régulier, mais totalement plat.

Intervenant 11:28

Ah oui, donc impossible de les plier pour refermer une forme en 3D.

Intervenant 21:32

C'est physiquement impossible, ouais. C'est exactement cette contrainte spatiale que la formule de l'air traduit, en fait. L'espace se referme sur lui-même selon des angles très précis.

Intervenant 11:42

C'est brillamment expliqué. Tout comme le moteur d'un jeu vidéo va empêcher un perso de traverser un mur parce que le code l'interdit,

Intervenant 21:51

l'arithmétique bloque physiquement notre espace.

Intervenant 11:53

On est coincé avec cinq solides réguliers, les solides de Platon.

Intervenant 21:57

Le tétraèdre, le cube, l'octaèdre, le dodecaèdre et l'icosaèdre. Il n'y a aucune dérogation possible.

Intervenant 12:03

Ce qui amène une question inévitable du coup. Si notre univers 3D est une sorte de prison mathématique, est-ce que ce code source s'applique toujours si on triche et qu'on rajoute une quatrième dimension spatiale ?

Intervenant 22:13

Ah bah là, le code il casse pas, il évolue. Au XIXe siècle, il y a des mathématiciens comme Poincaré et Schlaefeli qui ont généralisé cette règle.

Intervenant 12:22

La fameuse formule d'Euler Poincaré-Schlaefeli.

Intervenant 22:25

C'est ça. Et en dimension 4, l'équilibre se réajuste d'une manière assez dingue. La somme des sommets et des faces en deux dimensions devient égale à la somme des arêtes et des faces en trois dimensions.

Intervenant 12:37

Attends, une seconde. Des faces en trois dimensions ? Là, mon cerveau bloque un peu. Une face, c'est censé être plat, non ?

Intervenant 22:44

Dans notre perception usuelle, oui, bien sûr. Mais faut suivre la progression logique. Un carré plat en 2D, c'est délimité par des lignes.

Intervenant 12:52

Ok.

Intervenant 22:53

Notre cube en 3D, il est délimité par des carrés plats.

Intervenant 12:56

D'accord, je vois où tu veux

Intervenant 22:57

en venir. Donc, en géométrie 4D, un objet régulier, ce qu'on appelle un polycore, il est logiquement délimité par des cubes, ou d'autres volumes en 3D.

Intervenant 13:07

Ces faces sont littéralement des solides. C'est vertigineux. Mais la logique est imparable. D'ailleurs, l'article mentionne un objet 4D régulier appelé l'hypergranatoèdre. Un mot fantastique

Intervenant 23:19

d'ailleurs.

Intervenant 13:20

N'est-ce pas ? Et cet objet, il possède carrément 24 octaèdres en guise de face. Mais face à une telle complexité, puisqu'on ne peut pas les dessiner, comment les mathématiciens font pour les manipuler sans s'y perdre ?

Intervenant 23:34

Il s'appuie sur ce qu'on appelle le F-vecteur. Vu qu'on ne peut pas dessiner l'objet, on crée une liste, un registre en fait.

Intervenant 13:40

Ça recense quoi exactement ?

Intervenant 23:42

Ça note combien de sommets, combien d'arêtes, combien de faces , puis combien de cellules 3D l'objet possède.

Intervenant 13:50

On remplace le dessin par un tableau de bord chiffré

Intervenant 23:52

quoi. Voilà. Et l'élégance suprême, c'est que tous ces F-vecteurs habitent mathématiquement dans un espace super rigoureux qu'on appelle l'hyperplan de l'air.

Intervenant 14:01

L'hyperplan de l'air, d'accord.

Intervenant 24:03

C'est une structure qui garantit que l'architecture de ces mondes est parfaitement cohérente. La formule certifie que l'objet tient debout mathématiquement, même si aucun humain ne le verra jamais.

Intervenant 14:14

C'est là toute la beauté des maths en fait. Ça donne une boussole pour cartographier avec certitude des mondes que notre dimension nous empêche de voir.

Intervenant 24:22

Absolument. La logique prend le relais là où nos yeux s'arrêtent.

Intervenant 14:26

Ce qui me laisse avec une pensée un peu provocatrice pour clore cette exploration.

Intervenant 24:30

Vas-y, je t'écoute.

Intervenant 14:31

Si cet arithmétique décrit si parfaitement des objets en 4D, comme l'hypercranatoèdre, imaginons un instant une entité qui vit dans cette quatrième dimension et qui observe notre banal petit cube en 3D. Ce cube qui nous paraît si dense, si réel à nous, est-ce que de leur point de vue, ce serait juste une ombre, une esquisse étonnamment plate de leur propre réalité ?