Du goût au panier optimal : les maths du choix consommateur

Intervenant 10:00

Bienvenue dans le podcast du magazine Tangente. Alors, imaginez-vous un instant au rayon frais de votre supermarché habituel. Vous tenez un beau morceau de gruyère dans la main gauche, un camembert dans la main droite et vous hésitez.

Intervenant 20:16

Un grand classique.

Intervenant 10:17

Voilà, vous regardez les prix, vous évaluez votre faim, vous comptez mentalement ce qui vous reste sur votre compte en banque. Mais ce que vous ignorez peut-être, c'est qu'à cet instant très précis, votre cerveau est en train de se débattre avec un problème mathématique d'optimisation.

Intervenant 20:32

Et un problème assez complexe même.

Intervenant 10:33

Ah oui, très complexe. Ça implique des dérivés partiels, des espaces vectoriels et des fonctions concaves. Et c'est justement ce paradoxe fascinant qui motive notre plongée d'aujourd'hui. On va partir d'un article pointu du magazine qui s'intitule « Ce que préfèrent les consommateurs ». Et notre mission, ça va être de comprendre le pont, enfin la connexion qui existe entre la géométrie pure et nos envies d'achat de tous les jours.

Intervenant 20:57

Et c'est un sacré défi. L'idée centrale de cette exploration, en fait, c'est de réaliser que chaque personne qui nous écoute est, pour les économistes et les mathématiciens, un modèle théorique. Un modèle qu'on appelle le consommateur P. Et ce consommateur abstrait, il possède des caractéristiques qui sont très humaines. Il a ses propres goûts. Il est confronté à une véritable montagne de produits différents dans les rayons. Et surtout,

Intervenant 11:21

son budget est limité.

Intervenant 21:22

Voilà, exactement. Il est limité par un budget fini. Donc notre objectif, c'est de voir comment la science arrive à encapsuler toute cette psychologie, toute cette complexité humaine dans des équations qui soient vraiment rigoureuses.

Intervenant 11:34

Et c'est ça qui m'a tout de suite accroché en lisant le texte. Pour entrer dans le vif du sujet, l'article utilise une image assez amusante pour parler de la convexité.

Intervenant 21:44

Ah oui, le sourire.

Intervenant 11:46

Oui, c'est ça. Si on arrête un lycéen dans la rue et qu'on lui demande ce qu'est une fonction convexe, il y a de fortes chances qu'il mime un grand sourire avec ses

Intervenant 21:53

mains,

Intervenant 11:54

comme un arc de cercle. Ou alors il va réciter sagement que c'est une courbe dont la dérivée seconde est positive.

Intervenant 22:01

C'est la définition scolaire, oui.

Intervenant 12:02

C'est très abstrait, très froid. Et pourtant, on va voir que ce sourire mathématique, ça cache la traduction algébrique de nos désirs humains. Mais par où on commence, en fait, d'Allemagne ? Comment est-ce qu'on passe de mon hésitation devant le camembert à une formule mathématique ?

Intervenant 22:17

Alors, il faut d'abord poser les fondations. On doit être extrêmement rigoureux sur la définition de nos termes parce qu'on ne peut pas bâtir un modèle sur de simples intuitions.

Intervenant 12:26

D'accord.

Intervenant 22:27

Il faut d'abord définir mathématiquement ce qu'est une préférence. Et pour ça, les économistes ont emprunté aux maths ce qu'on appelle une structure relationnelle.

Intervenant 12:35

Une structure relationnelle ? Ok.

Intervenant 22:37

Donc imaginons que le supermarché propose un nombre grand N de biens différents. Ça peut aller des pommes au paquet de pâtes, en passant par la lessive, tout ce que vous voulez.

Intervenant 12:47

Sachant qu'un supermarché moyen, c'est des dizaines de milliers de références, donc ce grand N, il est gigantesque.

Intervenant 22:54

Tout à fait. Et face à cet éventail géant, on va définir des paniers de biens.

Intervenant 12:59

Des paniers virtuels en quelque sorte ?

Intervenant 23:01

Voilà. Mathématiquement parlant, un panier, c'est simplement un vecteur dans un espace à n dimensions. Disons, le vecteur n1, n2 et ainsi de suite jusqu'à n. Et chaque composante, chaque petit n, ça représente la quantité d'un bien spécifique que vous mettez dans votre caddie.

Intervenant 13:22

Donc N1 pour les pâtes, N2 pour le pesto par exemple ?

Intervenant 23:26

C'est ça.

Intervenant 13:27

D'accord. L'image du vecteur fonctionne super bien. Si je ne prends pas de pesto, mon N2 vaut 0.

Intervenant 23:32

Exactement.

Intervenant 13:33

Mais une fois que j'ai deux caddies remplis différemment, disons un panier A et un panier B, comment est-ce que le modèle décrit mon choix ?

Intervenant 23:42

Eh bien, le consommateur va établir des relations entre ces vecteurs. Le texte en formalise trois. La première, c'est la préférence stricte, donc le panier A est strictement préféré au panier B. Ensuite, on a la préférence faible. Là, le panier A est jugé, disons, au moins aussi préférable que le panier B.

Intervenant 14:01

D'accord.

Intervenant 24:02

Et enfin, l'indifférence. C'est quand le panier A vous apporte exactement le même niveau de satisfaction que le

Intervenant 14:08

B. Les ex-aequo, en fait.

Intervenant 24:10

Voilà, les

Intervenant 14:11

ex-aequo. Jusque là, on est vraiment dans la psychologie de base. Je préfère le chocolat à la vanille ou bien les deux me rendent aussi heureux. Mais j'imagine que pour faire des maths, on ne peut pas se contenter d'un consommateur qui change d'avis toutes les cinq minutes.

Intervenant 24:23

Sûrement pas.

Intervenant 14:24

Il faut des règles de cohérence, non ?

Intervenant 24:26

C'est là que l'algèbre entre en jeu pour structurer un peu le chaos de nos envies. Pour modéliser les choix de notre consommateur P, ces trois relations de préférence doivent obéir à des lois strictes. Et c'est ça qui forme ce qu'on appelle en mathématiques un préordre complet.

Intervenant 14:41

Et le mot complet a son importance. Et le préfixe « prêt » indique justement qu'on autorise les indifférences, vos fameux ex-aequo. Ce préordre repose sur quatre propriétés fondamentales.

Intervenant 24:55

D'accord, lesquelles ?

Intervenant 14:57

La première, c'est la réflexivité.