Diagrammes de Venn : pourquoi les dessiner sur une balle de tennis ?

Intervenant 10:00

Bienvenue dans le podcast du magazine Tangente.

Intervenant 20:03

Bonjour à tous.

Intervenant 10:04

Alors aujourd'hui, on va faire un truc un peu spécial. Si on imagine qu'on cherche à plier une simple feuille de papier pour y faire rentrer de manière parfaitement structurée absolument toutes les pensées logiques, toutes les combinaisons et intersections d'idées de l'univers, en fait.

Intervenant 20:20

C'est un défi qui donne complètement le vertige quand on y pense.

Intervenant 10:23

Totalement ! Et bien c'est exactement la mission de notre décryptage aujourd'hui. L'objectif, c'est vraiment de plonger au cœur de la représentation visuelle de l'information mathématique.

Intervenant 20:34

Parce que c'est vrai qu'on a souvent l'habitude de voir ces simples ronds griffonnés au tableau, tu sais ?

Intervenant 10:38

Les fameux diagrammes en patates.

Intervenant 20:40

C'est ça, les diagrammes en patates pour trier des données. Mais en fait, quand on pousse cette logique géométrique à son paroxysme, ces petits cercles un peu naïfs, ils volent en éclats.

Intervenant 10:50

Ah oui, complètement. Pour résoudre des problèmes de proportions complexes, on va voir que la géométrie a dû muter de manière assez spectaculaire.

Intervenant 20:58

Et cette mutation, elle est juste fascinante à observer, surtout sur le plan topologique. L'histoire des maths nous montre que l'intuition des parts était excellente, mais que, bah en fait, l'espace plat, la surface en deux dimensions, c'est un piège.

Intervenant 11:11

Un énorme piège, ouais.

Intervenant 21:12

Exactement. Pour cartographier véritablement la pensée complexe, il a fallu abandonner la feuille de papier plane, imaginer des sphères, modéliser carrément des coutures de balles de tennis.

Intervenant 11:23

C'est fou ça.

Intervenant 21:24

Ouais, et concevoir des projections qui finissent par prendre, tu vas voir, des formes cacahuètes fractales. L'évolution de ces diagrammes, c'est pas du tout qu'une question de dessin.

Intervenant 11:33

C'est une lutte, non ?

Intervenant 21:35

Voilà, une lutte acharnée pour faire rentrer une dimension logique infinie dans un espace physique qui, lui, est super limité.

Intervenant 11:42

On va décortiquer comment cette transformation s'est opérée. Mais avant d'arriver aux fameuses cacahuètes fractales, il faut poser les bases. Et pour ça, rien de tel qu'une petite mise en situation rapide. Un grand classique des probabilités.

Intervenant 21:53

Ah, le fameux repas de la famille Lapinou.

Intervenant 11:56

Exactement, le repas de la famille Lapinou. Les chiffres sont super simples. Lors d'un repas de famille, disons que 80% des membres mangent des carottes.

Intervenant 22:03

Jusque là, logique.

Intervenant 12:05

Voilà. Ensuite, 45% mangent de la salade et on a 30% qui ont mangé à la fois des carottes et de la salade.

Intervenant 22:11

D'accord.

Intervenant 12:11

Si on cherche la proportion totale de la famille qui a consommé au moins l'un de ces deux aliments, l'erreur classique, ce serait d'additionner naïvement les 80% et les 45%. Ce qui

Intervenant 22:23

nous donne 125%.

Intervenant 12:24

Ouais, ce qui donne 125%, ce qui est une aberration mathématique évidente, on peut pas avoir 125% de la famille.

Intervenant 22:31

Non, c'est clair. Et l'aberration, elle vient simplement du fait qu'une partie de la population est comptée deux fois.

Intervenant 12:36

C'est ça.

Intervenant 22:36

La formalisation mathématique de ce truc-là, ça repose sur une équation fondamentale de la théorie des ensembles. La probabilité de l'union de deux ensembles, elle est égale à la somme de leur probabilité individuelle,

Intervenant 12:47

Mais à laquelle on doit impérativement soustraire la probabilité de leur intersection, c'est bien ça ?

Intervenant 22:52

Tout à fait. Donc ici, on fait 80 plus 45 et on retire les 30% de l'intersection, ce qui nous donne bien le résultat de 95%. Et historiquement, en fait, c'est le mathématicien Léonard Dolaire, au XVIIIe siècle, qui a vraiment popularisé l'utilisation de cercles fermés pour illustrer ça.

Intervenant 13:07

C'est ultra visuel. D'ailleurs, pour bien ancrer le concept pour les personnes qui nous écoutent, on peut prendre une analogie super concrète. C'est comme si on organisait un grand banquet.

Intervenant 23:16

Ah ouais, bonne idée.

Intervenant 13:17

On demande aux traiteurs d'établir deux listes. Les convives végétariens d'un côté et ceux qui mangent sans gluten de l'autre. Si on additionne bêtement la longueur des deux listes pour commander les repas...

Intervenant 23:27

On aura beaucoup trop de nourriture.

Intervenant 13:28

Bah oui, parce que les personnes qui sont à la fois végétariennes et sans gluten, elles ont signé deux fois sur les deux listes.

Intervenant 23:34

Exactement. Et tracer deux cercles qui se chevauchent, ça permet de matérialiser physiquement cette zone de double signature.

Intervenant 13:41

C'est intuitif, c'est limpide, l'œil humain saisit l'intersection instantanément. Sauf que Euler, lui, il cherchait surtout à illustrer des propositions logiques assez simples, non ?

Intervenant 23:51

Ouais, complètement. Le véritable problème géométrique, il survient quand on veut systématiser la méthode.

Intervenant 13:56

Quand on veut aller plus loin que deux ou trois critères.

Intervenant 23:59

C'est ça. Et c'est le mathématicien britannique John Venn qui s'attaque à ce vertige conceptuel en 1880 dans une publication, le Philosophical Magazine.

Intervenant 14:09

D'où les fameux diagrammes de Venn.

Intervenant 24:10

Alors oui, mais petite anecdote, l'histoire retient souvent mal les paternités. Le terme de diagramme de Venn n'a été forgé qu'en 1918, bien plus tard, par le logitien Clarence Irving Lewis.

Intervenant 14:22

Ah, je ne savais pas du tout.

Intervenant 24:24

Eh oui. Bleff, l'ambition de Venn à l'époque, c'est plus seulement d'illustrer un cas particulier comme nos végétariens et le sang glutin. Il veut créer un cadre universel, une sorte de machine visuelle capable d'afficher toutes les combinaisons possibles, quel que soit le nombre de catégories.

Intervenant 14:42

Et ce protocole, il impose une contrainte redoutable. Pour qu'un diagramme soit mathématiquement valide et exhaustif, il doit délimiter un nombre hyper précis de régions.

Intervenant 24:53

Exact.