Développement limité : trois intuitions mises à l’épreuve

Intervenant 10:00

On va imaginer ensemble une surface mathématique. Elle a l'air parfaitement lisse, on est d'accord ? Complètement lisse, oui. Mais en fait, si on zoome avec un microscope, c'est le chaos absolu. C'est vraiment l'illusion parfaite. Bonjour et bienvenue dans le podcast du magazine Tangente.

Intervenant 20:17

Bonjour.

Intervenant 10:18

Aujourd'hui, on fait une petite plongée au cœur de nos sources pour explorer les angles morts d'un grand classique de l'analyse mathématique.

Intervenant 20:27

Oui, les fameux développements limités.

Intervenant 10:29

Exactement. Et on va décortiquer tout ça parce que c'est un sujet qui défie vraiment l'intuition.

Intervenant 20:34

C'est un sujet redoutable. Ça nous force un peu à admettre que notre intuition sur la régularité des fonctions, elle est souvent très biaisée.

Intervenant 10:42

C'est ça, on se fie à des approximations locales qui ne disent pas toute la vérité en fait.

Intervenant 20:47

Pas du tout même.

Intervenant 10:49

Bon, reprenons la base. On a tous ce réflexe bien ancré. Un développement limité à l'ordre 0, c'est la continuité.

Intervenant 20:56

Tout à fait.

Intervenant 10:57

À l'ordre 1, c'est la dérivée.

Intervenant 20:59

Oui, c'est la règle.

Intervenant 11:00

Donc logiquement, on se dit que pour un ordre n, ça garantit que la fonction est n fois dérivable.

Intervenant 21:05

Eh ben non, c'est le piège classique.

Intervenant 11:09

Ah bon ?

Intervenant 21:09

Ouais. La formule de Taylor, elle garantit que la dérivabilité implique l'existence du développement limité. Mais la réciproque, elle, est grossièrement fausse.

Intervenant 11:19

Attendez. Comment une fonction pourrait avoir une approximation polynomiale bien sage sans être dérivable ?

Intervenant 21:26

Alors, prenez la fonction x³ multipliée par le sinus de 1 sur x.

Intervenant 11:31

D'accord.

Intervenant 21:32

À première vue, elle est complètement écrasée en zéro. Le sinus est borné, donc le x³ la force violemment vers zéro.

Intervenant 11:39

Ouais, je vois l'image.

Intervenant 21:40

Elle admet donc un développement limité à l'ordre 2, qui est tout simplement le polynôme nul.