Fonctions convexes : pourquoi la corde reste-t-elle au-dessus ?

Intervenant 10:00

Bienvenue dans le podcast du magazine Tangente. Je suis ravie d'accueillir toutes celles et ceux qui nous écoutent pour notre analyse du jour.

Intervenant 20:08

Salut Eve, et moi aussi je suis ravi d'être là pour cette nouvelle discussion.

Intervenant 10:13

Alors pour entamer cette plongée mathématique, on va partir d'une scène très visuelle. Imaginons le lâcher d'un objet depuis une altitude extrême, genre la stratosphère.

Intervenant 20:25

Ah ouais, une chute libre totale quoi.

Intervenant 10:28

Exactement. Au tout début, l'objet quitte la main et commence à tomber. Mais plus le temps défile, plus sa vitesse s'accroît. Il est inexorablement aspiré par la gravité terrestre.

Intervenant 20:40

C'est inévitable, ouais.

Intervenant 10:41

Et du coup, si on décide de tracer un graphique représentant la distance parcourue par cet objet en fonction du temps, la ligne dessinée ne sera pas droite.

Intervenant 20:52

Ah bah non, pas du tout, vu qu'il accélère en permanence.

Intervenant 10:54

Voilà, la pente de notre courbe s'emballe, elle grandit à chaque fraction de seconde, se creusant, pour finir par pointer vers le haut, vers le ciel.

Intervenant 21:03

Et en fait, cette observation de physique fondamentale, ça nous dépose directement au cœur de notre exploration.

Intervenant 11:09

Ah oui ? C'est le lien direct avec notre sujet mathématique ?

Intervenant 21:12

C'est ça. Ce que cette courbe de chute libre dessine, avec son accélération constante, c'est vraiment l'incarnation parfaite de ce qu'on appelle en mathématiques une fonction convexe.

Intervenant 11:22

D'accord, donc c'est ça notre objectif aujourd'hui, décortiquer cette fameuse notion de fonctions convexes.

Intervenant 21:27

Tout à fait. Parce qu'on a souvent l'impression qu'il s'agit d'un simple concept visuel, tu vois, une sorte de courbe un peu optimiste tournée vers les étoiles.

Intervenant 11:35

C'est poétique dit comme ça.

Intervenant 21:37

Mais derrière cette géométrie intuitive se cache une machinerie analytique fascinante. On va voir comment les mathématiciens ont dû construire des outils de plus en plus sophistiqués pour définir cette forme.

Intervenant 11:49

Et j'imagine qu'il y a eu quelques pièges monumentaux sur la route,

Intervenant 21:53

non ? Oh que oui ! Pour finalement s'appuyer sur une loi géométrique implacable qu'on abordera à la fin.

Intervenant 11:59

Super programme. Mais bon, avant de se jeter dans les équations, je pense qu'il faut vraiment figer cette géométrie dans l'espace pour notre audience.

Intervenant 22:06

Ouais, c'est indispensable.

Intervenant 12:07

Si on devait simplifier à l'extrême, une fonction convexe, visuellement, ça évoque un grand sourire. Les extrémités remontent, le centre est creusé.

Intervenant 22:15

C'est une excellente analogie.

Intervenant 12:16

Et par opposition, si on prolonge cette métaphore du visage, une fonction concave serait une mouboudeuse, avec les commissures des lèvres qui tombent vers le bas.

Intervenant 22:25

Voilà, c'est le smiley triste

Intervenant 12:26

quoi. Mais géométriquement parlant, comment on confirme qu'on est bien face à ce fameux sourire mathématique ?

Intervenant 22:33

On utilise pour cela des droites de référence. La première propriété visuelle majeure fait appel à ce qu'on nomme une corde.

Intervenant 12:40

Une corde ?

Intervenant 22:41

Comme pour un arc.

Intervenant 12:42

Un peu, ouais.

Intervenant 22:43

Concrètement, on choisit deux points n'importe où sur notre courbe convexe et on tend un fil bien droit entre les deux.

Intervenant 12:49

D'accord, un segment qui relie ces deux points.

Intervenant 22:51

C'est ça. Et pour que la fonction soit considérée comme convexe, ce fil, ce segment droit, flottera toujours au-dessus du graphe.

Intervenant 12:59

Ah, je visualise. La courbe forme en quelque sorte un hamac et elle pend inévitablement sous la corde tendue.

Intervenant 23:05

Exactement. Le fil est tendu et la courbe plonge en dessous.

Intervenant 13:09

Donc la corde fait office de plafond local, c'est limpide. Mais j'imagine qu'on peut inverser la perspective, non ?

Intervenant 23:16

Comment ça, inverser ressent ?

Intervenant 13:18

Si la corde est un plafond, que se passe-t-il si on regarde la courbe par en dessous ? Si j'imagine que ma courbe convexe est un bol, je devrais pouvoir la poser sur une table sans qu'elle bascule.

Intervenant 23:29

Ah, je vois où tu veux en venir.

Intervenant 13:31

La table serait alors une tangente au fond du bol.

Intervenant 23:34

C'est la métaphore parfaite, à condition bien sûr que la fonction soit suffisamment lisse pour ne pas avoir d'angle pointu.

Intervenant 13:39

Ce qu'on appelle être dérivable en langage mathématique.

Intervenant 23:42

Tout à fait. Si on trace la tangente en n'importe quel point de cette courbe lisse, la droite passera toujours en dessous du graphe.

Intervenant 13:48

Donc la fonction convexe repose littéralement sur l'ensemble de ces tangentes.

Intervenant 23:52

C'est exactement ça. Et pour faire le lien avec la mouboudeuse de tout à l'heure, la fonction concave, la règle géométrique, est d'une simplicité redoutable.

Intervenant 14:00

Il suffit d'inverser le miroir.

Intervenant 24:02

Voilà. Multiplier les valeurs d'une fonction convexe par moins 1 retourne le bol à l'envers, créant ainsi une fonction concave.

Intervenant 14:10

Le miroir concave, c'est une très belle image. Mais j'y vois quand même une limite évidente à tout ça.

Intervenant 24:15

Bah bon ? Laquelle ?

Intervenant 14:16

Bah, on ne peut pas évaluer des fonctions complexes simplement en dessinant des courbes sur un coin de table et en plissant les yeux pour vérifier si le hamac pend bien ou si le bol tient droit.

Intervenant 24:25

C'est sûr que l'œil humain est

Intervenant 14:27

trompeur. Il nous faut une mécanique analytique, un moyen de prouver cette convexité par le calcul. Comment on passe de ce dessin à l'analyse pure et dure ?

Intervenant 24:35

En fait, on fait appel à l'outil roi de l'étude des variations, la dérivée.

Intervenant 14:39

La dérivée, c'est le fameux tachymètre de notre courbe. Elle mesure sa pente à un instant

Intervenant 24:44

T. C'est ça. Reprenons l'idée de la pente qui pointe de plus en plus vers le haut. Dire qu'une fonction est convexe de manière analytique, c'est exiger que sa pente soit en augmentation constante.