Des équations aux groupes : naissance d’une structure algébrique

Intervenant 10:00

Bienvenue dans le podcast du magazine Tangente. Prenons un instant pour penser à un jeu vidéo.

Intervenant 20:06

Un jeu vidéo, d'accord.

Intervenant 10:08

Oui, en fait, imaginez un jeu où l'on passe les quatre premiers niveaux avec une facilité déconcertante. Mais le cinquième niveau n'est pas juste difficile, il est carrément mathématiquement impossible à terminer.

Intervenant 20:21

Ah oui, je vois, le fameux mur.

Intervenant 10:23

Voilà. Et c'est exactement ce qui s'est passé avec la résolution des équations au XIXe siècle. C'est le point de départ de notre exploration d'aujourd'hui.

Intervenant 20:32

Basé sur l'article « Le groupe des fondateurs », si je ne me trompe

Intervenant 10:35

pas. C'est ça. L'objectif de cette analyse, c'est de comprendre comment une notion aujourd'hui incontournable, la notion de groupe, a mis des siècles à émerger de cette impossibilité. Je suis toujours fascinée de voir à quel point ça a été laborieux.

Intervenant 20:49

Et il faut dire qu'avant d'aboutir à une théorie super abstraite, le besoin était purement pratique en fait.

Intervenant 10:56

On voulait juste résoudre des équations au départ.

Intervenant 20:59

Exactement. Il s'agissait de trouver les solutions d'équations polynomiales, le fameux P égale à zéro. Avec les bases jetées par Gauss notamment, il fallait trouver la solution en utilisant uniquement les quatre opérations de base et des extractions de racines.

Intervenant 11:14

Alors on sait que les mathématiciens italiens du XVIe siècle avaient trouvé des méthodes brillantes pour venir à bout des degrés 3 et 4.

Intervenant 21:21

Oui.

Intervenant 11:22

Ce qui correspond en gros au niveau 3 et 4 de notre métaphore du jet vidéo.

Intervenant 21:26

Et la suite logique, ça semblait être de généraliser ces méthodes pour le degré 5. Lagrange s'y penche d'ailleurs longuement au XVIIIe siècle, mais il y sort un mur d'incompréhension totale.

Intervenant 11:37

Ah

Intervenant 21:38

oui. C'est finalement Niels Sabel qui prouve l'impensable. En fait, il n'y a pas de formule magique globale pour le degré 5.

Intervenant 11:45

Donc l'échec ne vient pas d'un manque d'ingéniosité des chercheurs en soi ?