Origami géométrique : jusqu’où un pli peut-il aller ?

Intervenant 10:00

Bienvenue dans le podcast du magazine Tangente. Bonjour à tout le monde et un grand merci d'être au rendez-vous pour cette toute nouvelle exploration.

Intervenant 20:08

Bonjour, très heureux d'être là aujourd'hui.

Intervenant 10:10

Alors, pendant plus de 2000 ans, on a les plus grands esprits de l'Antiquité qui ont tenté de résoudre des énigmes géométriques qui étaient réputées mais totalement impossibles. Et ça, armés seulement d'une règle et d'un compas.

Intervenant 20:23

Ouais, l'équipement de base quoi.

Intervenant 10:24

C'est ça. Sauf qu'il s'avère qu'ils auraient peut-être juste eu besoin, et c'est ça qui est fou, d'un simple bout de papier.

Intervenant 20:31

C'est exactement ça.

Intervenant 10:32

Du coup aujourd'hui notre analyse porte sur un article fascinant qui s'intitule « des constructions à foison ». L'objectif de cette plongée au cœur des mathématiques pour nous c'est vraiment de comprendre comment la technique ancestrale de l'origami permet de pulvériser les limites rigides de la géométrie classique.

Intervenant 20:49

Et le changement de paradigme, il est total avec cette approche. En fait, le papier, il perd complètement son statut passif.

Intervenant 10:55

De simples supports de dessin, tu veux

Intervenant 20:56

dire. Exactement. Il devient l'instrument même de la démonstration mathématique. C'est-à-dire que les plis physiques agissent vraiment comme des équations vivantes, en quelque sorte.

Intervenant 11:05

Décortiquons un peu tout ça. Parce que pour saisir pourquoi l'origami possède ce pouvoir, on va dire, inattendu, il faut se replonger un instant dans l'état d'esprit des mathématiciens grecs.

Intervenant 21:15

Ah oui, le fameux duo règles et compas.

Intervenant 11:17

Voilà. En fait, ils opéraient dans un système qui s'apparente à un jeu vidéo avec des contraintes extrêmement sévères. Moi, c'est comme ça que je le vois. Le joueur, il n'a droit qu'à deux outils.

Intervenant 21:28

Pas un de plus.

Intervenant 11:30

Une règle non graduée, donc qui sert uniquement à tracer des droites infinies, et un compas pour tracer des cercles. Et cette quête un peu philosophique de pureté géométrique, elle a fini par créer un mur complètement infranchissable. C'est ce qui a donné naissance au fameux problème impossible de l'Antiquité.

Intervenant 21:47

Ouais, et la duplication du cube et la trisection de l'angle, ce sont vraiment les deux exemples les plus emblématiques de cette limite matérielle dont tu parles.

Intervenant 11:55

Attends, la duplication du cube, rappelle-nous ce que c'est exactement.

Intervenant 21:58

Le défi consistait en fait à trouver la longueur exacte de l'arête d'un cube dont le volume serait parfaitement le double de celui d'un cube de départ.

Intervenant 12:06

D'accord. Donc on veut deux fois le volume, mais on cherche l'arête.

Intervenant 22:09

Voilà. Et l'autre grand problème, c'était la trisection de l'angle. Là, on exigeait de diviser n'importe quel angle en trois parties rigoureusement égales.

Intervenant 12:17

Et ça, avec juste la règle et le compas ?

Intervenant 22:19

C'est ça. Et les mathématiciens ici sont acharnés pendant des siècles avant que l'algèbre moderne ne vienne prouver formellement, on est au XIXe siècle à ce moment-là, que la règle et le compas ne possédaient tout simplement pas la puissance nécessaire pour y parvenir.

Intervenant 12:35

Ouais, c'est exactement comme être bloqué dans un univers en deux dimensions où l'on ne peut se déplacer que sur un axe vertical et un axe horizontal.

Intervenant 22:43

Complètement, c'est très visuel.

Intervenant 12:45

En fait, si on traduit ça mathématiquement, tracer une droite avec une règle, c'est représenter une équation du premier degré. Tracer un cercle avec un compas, là on utilise une équation du deuxième degré, parce que l'équation d'un cercle implique des variables au carré.

Intervenant 22:58

C'est ça, le fameux x² plus y².

Intervenant 13:01

Exact. Mais pour doubler un volume, comme tu l'as dit pour le cube, là on entre dans la dimension du cube, donc la troisième dimension. Mathématiquement, doubler le volume, ça demande de calculer la racine cubique de

Intervenant 23:13

2. Et c'est là que ça coince.

Intervenant 13:15

Bah oui, il faut donc impérativement résoudre une équation de degré 3. Et le compas, coincé dans son petit deuxième degré, il n'a littéralement pas le code génétique pour effectuer ce calcul.

Intervenant 23:27

Mais alors l'origami, lui, il contourne cette limite de manière assez brillante, par sa nature mécanique en fait. L'article détaille comment, en pliant une feuille carrée en trois bandes de largeur égale de façon exacte...

Intervenant 13:39

Juste en faisant trois bandes, on est des corps ?

Intervenant 23:41

Ouais, juste ça ! Eh bien on obtient directement un rapport de longueur correspondant à cette fameuse racine cubique de 2. Donc le pliage résout la duplication du cube, comme ça, paf ! Ah ouais,

Intervenant 13:51

c'est bluffant ! Et pour l'angle alors ?

Intervenant 23:53

De la même façon, en plaçant et en alignant judicieusement deux points sur la feuille, avant d'effectuer un pli spécifique, on obtient la trisection parfaite d'un angle.

Intervenant 14:03

Mais du coup, pourquoi l'action physique du papier permet ça ? Je veux dire, la mécanique du pliage réalise ce que les cercles ne peuvent pas faire. Mais d'un point de vue algébrique, si la règle trace des droites et le compas des courbes de degré 2, le pliage fait quoi exactement ?

Intervenant 24:20

L'action de rabattre un point sur une ligne, ça contraint l'espace d'une manière inédite. Géométriquement parlant, l'acte physique du pliage force la création de ce que l'on nomme une tangente simultanée à deux paraboles.

Intervenant 14:31

Attends, une tangente simultanée à deux paraboles ?

Intervenant 24:34

Oui, et la créature de cette tangente, c'est vraiment la clé du mystère. Là où le compas ne peut que croiser deux cercles, le pliage de la feuille, lui, il cherche l'unique droite possible qui soit capable de frôler deux paraboles en même temps.

Intervenant 14:49

D'accord.

Intervenant 24:50

Et trouver cette droite tangente, ça nécessite de résoudre simultanément plusieurs variables, ce qui correspond, de manière sous-jacente, à la résolution d'une équation de degré 3.