Dérivée : une tangente horizontale suffit-elle ?

Intervenant 10:00

Bienvenue dans le podcast du magazine Tangente. Je suis vraiment ravie d'ouvrir cette nouvelle exploration aujourd'hui parce qu'on a un programme assez fascinant.

Intervenant 20:08

Bonjour. Oui, c'est un très beau sujet qu'on va

Intervenant 10:11

aborder. Complètement. On plonge sans attendre dans une mission qui est aussi intrigante que fondamentale en fait. L'idée, c'est de comprendre comment les mathématiques permettent, au sens propre du terme, de toucher le fond.

Intervenant 20:24

Toucher le fond. Oui, c'est exactement ça. Trouver le point le plus bas.

Intervenant 10:27

Voilà. Comment trouver avec une précision absolue le point le plus bas d'une courbe ? Et pour nous guider, on s'appuie sur un article vraiment passionnant qui s'intitule « La dérivée pour toucher le fond ».

Intervenant 20:39

Un article très complet, oui.

Intervenant 10:41

Et pour démarrer, il faut absolument qu'on parle d'une farce. Une farce mémorable qui a été orchestrée par le physicien Richard Feynman, bien avant qu'il ne reçoive son prix Nobel d'ailleurs.

Intervenant 20:51

Ah oui, l'anecdote de Feynman, c'est une porte d'entrée parfaite pour notre sujet. Ça se déroule au fameux MIT, donc le Massachusetts Institute of Technology, alors que Feynman n'était encore qu'un jeune étudiant, brillantissime certes, mais surtout redoutablement espiègle.

Intervenant 11:07

Le décor est planté quoi. L'article raconte qu'un jour, au milieu de tous ces cerveaux considérés comme les plus affûtés de leur génération, quelqu'un s'est mis à examiner un trace courbe.

Intervenant 21:17

Un pistolet de dessin, oui.

Intervenant 11:19

C'est ça. Pour situer, ce sont ces outils en plastique transparent avec des formes asymétriques, des volutes très étranges. C'était très utilisé par les dessinateurs industriels avant

Intervenant 21:28

l'informatique. C'est là que Feynman saisit l'occasion de tester l'esprit critique de ses camarades. Il attrape l'un de ces outils en plastique et annonce avec un aplomb, mais phénoménal...

Intervenant 11:39

Comme si c'était un secret industriel, genre...

Intervenant 21:41

Voilà. Il dit en gros, regardez bien, ces outils sont d'une ingénierie incroyable. Ils sont conçus pour que, à leur point le plus bas, quelle que soit la façon dont on tourne le plastique, la tangente soit toujours parfaitement horizontale.

Intervenant 11:57

Et ce qui est délirant, c'est la réaction de la salle. Les étudiants du MIT sont tondés dans le panneau à pieds joints. Ils ont commencé à faire tourner leur plastique dans tous les sens sur les tables.

Intervenant 22:06

Ils étaient émerveillés,

Intervenant 12:07

oui. Mais complètement. Ils pensaient avoir découvert une propriété magique de ce bout de plastique.

Intervenant 22:12

Alors que c'était une escroquerie intellectuelle totale. L'ironie, c'est que ces étudiants surdoués venaient tout simplement d'oublier une vérité mathématique élémentaire.

Intervenant 12:21

Qu'il n'y a pas de

Intervenant 22:21

magie. Aucune magie. Cette propriété d'avoir une tangente horizontale au creux d'une courbe, ça n'a rien d'un secret de fabrication. C'est une loi géométrique universelle. Ça s'implique à n'importe quelle courbe au monde, tant qu'elle est un minimum continu et sans cassure.

Intervenant 12:34

Ok, décortiquons tout ça. Parce que pour comprendre pourquoi cette élite s'est fait avoir, il faut revenir aux bases. On prononce le mot « tangente » depuis tout à l'heure, mais visuellement, dans l'espace physique, ça représente quoi ?

Intervenant 22:47

Eh bien, laissons les formules de côté un instant. Imaginons plutôt une route de montagne très sinueuse qu'on regarde de haut. Cette route, c'est notre courbe métématique.

Intervenant 12:55

D'accord, je visualise.

Intervenant 22:56

Une voiture roule dessus à vive allure. Et arrivé à un point très précis, disons le point A, la route est soudainement recouverte d'une plaque de verglas géante. La voiture perd instantanément toute adhérence.

Intervenant 13:09

Ah la catastrophe. Il n'y a plus du tout de frottement pour forcer les pneus à suivre le virage en fait.

Intervenant 23:15

Conséquence immédiate, la voiture cesse de tourner, elle va glisser tout droit, emportée par son inertie. Et bien cette trajectoire parfaitement rectiligne, ce dérapage qui s'échappe de la route au point A, c'est ça la tangente.

Intervenant 13:28

C'est la ligne droite qui mime la direction de la courbe à cette fraction de seconde quoi.

Intervenant 23:33

Exactement, c'est la droite qui épouse le mieux la forme de la courbe à cet endroit.

Intervenant 13:37

J'adore cette image, elle est très viscérale. Mais pour le côté géométrique, j'aimerais proposer une autre approche, inspirée de nos écrans de tous les jours. Imaginons qu'on affiche cette courbe sur un smartphone.

Intervenant 23:48

Oui, très bonne analogie.

Intervenant 13:49

Et on utilise nos doigts pour zoomer. On zoom de façon agressive, de plus en plus près du fameux point A. Puisque la courbe est fluide, il y a un effet d'optique inévitable.

Intervenant 23:59

L'aplatissement, oui.

Intervenant 14:00

Voilà, plus le grossissement est extrême, plus le petit morceau de courbe à l'écran s'aplatit. Et si on zoome à l'infini, on ne perçoit plus de courbure. On a l'illusion de fixer une ligne droite parfaite.

Intervenant 24:12

C'est le principe central de ce qu'on appelle la linéarité locale. Et c'est vital pour la suite. À l'échelle microscopique, la courbe sinueuse et sa droite tangente deviennent totalement indissociables. Elles

Intervenant 14:25

fusionnent en

Intervenant 24:25

gros. C'est ça. Cette fusion visuelle au voisinage du point A, c'est la clé de la farce de Feynman.

Intervenant 14:32

Très bien. On a donc cette courbe qui se déguise en ligne droite quand on la regarde de près. Mais comment ça prouve que tout au fond, la tangente est obligatoirement horizontale ?