Dérivabilité et déterminisme : pourquoi sont-ils liés ?

Intervenant 10:00

Bonjour à tous et bienvenue dans le podcast du magazine Tangente. Je suis vraiment ravi de vous retrouver aujourd'hui pour une nouvelle exploration au cœur des mathématiques.

Intervenant 20:12

Bonjour, merci de m'accueillir. C'est vrai qu'on a un beau programme aujourd'hui.

Intervenant 10:17

Absolument. Alors installez-vous confortablement pour notre plongée du jour. C'est une réflexion qui s'inspire directement des pages de Tangente. Et on va parler de notre perception du monde. Parce que quand vous observez le monde qui vous entoure, vous avez probablement ce besoin viscéral, presque apaisant en fait, d'y voir des lignes droites.

Intervenant 20:39

Ouais, des choses simples, claires.

Intervenant 10:41

Voilà, la surface de votre bureau est plate, les murs de la pièce où vous vous trouvez sont droits. On regarde ça et on se dit que l'univers est ordonné, tout va bien.

Intervenant 20:51

Tu vas bien, oui.

Intervenant 10:52

Mais le truc, c'est que dès que vous regardez par la fenêtre, l'illusion s'effondre. Vous regardez la forme d'un nuage, les tourbillons dans votre tasse de café ou même l'évolution d'un cours en bourse. Et là, le monde n'est pas fait de ligne droite du tout. Il est profondément chaotique.

Intervenant 21:07

Et c'est un chaos que notre biologie déteste en fait.

Intervenant 11:11

Vraiment ?

Intervenant 21:12

Ah oui, totalement. La prémisse de l'article de Tangente est d'ailleurs assez vertigineuse sur ce point. Si nous cherchons à tout prix de la géométrie simple dans la nature, c'est parce que notre perception est biaisée dès le départ.

Intervenant 11:24

Biaisée par quoi ?

Intervenant 21:24

Par notre propre architecture cérébrale.

Intervenant 11:26

Attendez, vous voulez dire que mon penchant pour l'ordre et les lignes bien droites, c'est littéralement la faute de mes neurones ?

Intervenant 21:35

C'est l'hypothèse centrale de l'article, oui. Notre cerveau, c'est une machine organique. Elle est composée de milliards de cellules, des neurones, qui sont interconnectés par des toiles de

Intervenant 11:46

synapses.

Intervenant 21:47

Et lorsqu'un neurone reçoit des signaux, il fait essentiellement une somme de ces signaux. Il additionne jusqu'à atteindre un certain seuil de déclenchement.

Intervenant 11:57

Donc il accumule l'information de manière assez basique ?

Intervenant 22:00

Exactement. Et ce fonctionnement physiologique, ce câblage en quelque sorte, ça nous pousse biologiquement à traiter l'information de manière séquentielle et surtout proportionnelle.

Intervenant 12:11

Ah, proportionnelle.

Intervenant 22:12

Voilà. Et la conséquence directe de ça, c'est que nos modes de pensée et par extension les mathématiques que nous avons inventées pendant des siècles, et bien elles sont fondamentalement linéaires.

Intervenant 12:24

Ok, décortiquons tout ça parce que c'est facile donc. Parce que notre cerveau additionne des signaux de façon proportionnelle. C'est pour ça qu'on a inventé, je ne sais pas, l'algèbre du premier degré, les droites en géométrie. C'est ça. Et toutes ces statistiques où l'on s'acharne à tracer une ligne droite au milieu d'un énorme nuage de points éparpillés.

Intervenant 22:43

Oui, on appelle ça la régression linéaire d'ailleurs. L'outil façonne l'artisan, vous voyez. Nos modèles d'ajustement cherchent presque toujours cette fameuse proportionnalité. Sauf que les mathématiciens ont fini par se rendre compte d'un petit problème.

Intervenant 12:55

Lequel ?

Intervenant 22:55

La nature, elle, ne se laisse absolument pas enfermer dans des proportions parfaites.

Intervenant 12:59

Ouais, elle est chaotique, comme on disait.

Intervenant 23:01

Exactement. Donc pour comprendre la complexité du monde réel, il fallait s'échapper de ce piège linéaire. Mais ce qui est amusant historiquement, c'est qu'ils ne l'ont pas fait d'un coup. Ah bon ? Non. Ils ont d'abord décidé de conserver la ligne droite, parce que c'est rassurant, mais en la confinant à une échelle, disons, microscopique.

Intervenant 13:23

Je crois que je vois où vous voulez en venir. C'est là qu'intervient la notion mathématique de dérivé, c'est ça ?

Intervenant 23:28

Tout à fait. C'est l'invention du calcul différentiel.

Intervenant 13:31

Bon alors, essayons de visualiser ça sans équation pour ceux qui nous écoutent. Est-ce que c'est un peu comme, imaginez que vous regardez le tracé d'une route de montagne très sineuse sur l'écran de votre GPS.

Intervenant 23:42

Oui, très bon exemple.

Intervenant 13:44

De loin, ça ressemble à un plat de spaghettis, ça tourne dans tous les sens, c'est le chaos. Mais si vous zoomez à l'extrême, directement sur la petite flèche de votre voiture, la route finit par occuper tout l'écran et là elle a l'air parfaitement droite.

Intervenant 23:56

C'est exactement ça. La métaphore du zoom est parfaite pour comprendre ce qu'on appelle l'analyse locale. C'est vraiment le cœur de la dérivée. On observe le taux de variation d'une courbe en un point qui est tellement précis, tellement isolé, que la courbure n'a tout simplement plus la place

Intervenant 14:12

d'exister.

Intervenant 24:14

Mathématiquement, c'est comme si on regarde un point, on fait un pas minuscule sur le côté, un petit delta x, et on observe la pente.

Intervenant 14:21

D'accord.

Intervenant 24:22

Si ce pas est infiniment petit, eh bien n'importe quelle courbe lisse se comporte comme une droite absolue. C'est la fameuse formule d'approximation où la fonction à un point décalé est égale à sa valeur initiale plus sa dérivée, multipliée par ce petit décalage.

Intervenant 14:37

Donc on satisfait notre cerveau linéaire en trichant un peu avec l'échelle, on zoome à fond.

Intervenant 24:42

Voilà, on triche avec l'infini

Intervenant 14:43

petit. Et c'est là que ça devient vraiment intéressant. Jusqu'ici, on parle de géométrie, d'une route sur une carte ou d'une courbe sur un papier.

Intervenant 24:51

Oui, de l'espace.

Intervenant 14:52

Or, l'article nous emmène sur un terrain beaucoup plus glissant. Que se passe-t-il si on remplace l'espace par le temps ?