Dans la cuisine de Marjorie Rice, la quête des pentagones

Intervenant 10:00

Bienvenue dans le podcast du magazine Tangente. Aujourd'hui, on va démarrer cette nouvelle exploration avec une situation que n'importe qui peut visualiser.

Intervenant 20:10

Oui, une situation du quotidien, ou presque.

Intervenant 10:13

Voilà, imaginons un instant un artisan à qui on demanderait de caroler le sol d'une immense salle de bain. Mais attention, une salle de bain infinie.

Intervenant 20:23

Ah oui, le cauchemar absolu pour l'artisan.

Intervenant 10:26

Totalement. Surtout que sa contrainte absolue, c'est qu'il a le droit d'utiliser qu'un seul et unique type de carreau. D'accord. Toutes les pièces qu'il a dans ses cartons, ce sont des copies strictement identiques d'une même forme géométrique de base.

Intervenant 20:40

Donc aucune variation possible.

Intervenant 10:42

Exactement. Et il doit les assembler parfaitement, bord à bord.

Intervenant 20:46

Sans chevauchement, j'imagine.

Intervenant 10:47

C'est ça. Sans qu'elles se chevauchent jamais. Et surtout, sans laisser le moindre interstice vide. Page du plan.

Intervenant 20:53

Ouais. En gros, on cherche à recouvrir une surface infinie avec un motif répétitif.

Intervenant 10:59

Ok.

Intervenant 20:59

Et dans les sources qu'on analyse pour cette plongée mathématique d'aujourd'hui, l'attention se porte sur une catégorie très précise de carreaux. Ce sont les polygones qu'on dit « convex ».

Intervenant 11:10

Alors « convex » pour visualiser la chose simplement pour ceux qui nous écoutent ?

Intervenant 21:13

Ouais, un polygone « convex », c'est une forme géométrique classique, mais sans aucun creux.

Intervenant 11:19

Donc pas de forme d'étoile ou de choses comme ça ?

Intervenant 21:21

Exactement. Si on prend deux points quelconques à l'intérieur de ce carreau et qu'on trace un trait tout droit pour les relier.

Intervenant 11:27

Le trait reste à l'intérieur.

Intervenant 21:29

Voilà, le trait reste entièrement à l'intérieur de la forme.

Intervenant 11:31

Ah d'accord, ça exclut les formes un peu bizarres.

Intervenant 21:33

C'est ça. On exclut d'office les carreaux en étoiles, en croissant de lune ou les pièces de puzzle avec des petites encoches complexes, tu vois.

Intervenant 11:41

On parle vraiment que de formes pleines,

Intervenant 21:42

quoi. Ouais, des formes dont les bords pointent toujours vers l'extérieur.

Intervenant 11:45

Du coup, la mission de notre analyse d'aujourd'hui, c'est de comprendre pourquoi ce problème, dont l'énoncé a l'air d'une simplicité enfantine...

Intervenant 21:51

Vraiment basique, ouais.

Intervenant 11:53

Pourquoi ça a rendu les mathématiciens complètement fous pendant plus d'un siècle ?

Intervenant 21:56

Ah, ça c'est une sacrée histoire.

Intervenant 11:58

Parce que l'article sur lequel on se base, il retrace une quête intellectuelle vraiment fascinante.

Intervenant 22:01

Et ce qui est captivant, ce n'est pas juste la géométrie pure.

Intervenant 12:04

Non, c'est clair. C'est la manière dont les règles de la découverte scientifique ont été totalement bouleversées.

Intervenant 22:09

Complètement.

Intervenant 12:09

On va littéralement passer des philosophes de l'Antiquité grecque

Intervenant 22:13

aux thèses de doctorats allemandes

Intervenant 12:14

pour finalement altérir sur la manière dont une mère de famille qui travaillait sur le comptoir de sa cuisine a donné une leçon monumentale au monde académique.

Intervenant 22:22

C'est le meilleur plot twist de l'histoire des maths, franchement.

Intervenant 12:25

Mais avant d'en arriver à cette rupture incroyable, il faut peut-être qu'on comprenne pourquoi ce fameux problème bloque

Intervenant 22:29

autant. Si notre artisan utilise des carreaux en forme de carré, par exemple, c'est trivial.

Intervenant 12:34

Ouais, c'est le carrelage qu'on a tous dans notre cuisine ou notre salle de bain.

Intervenant 22:37

Exactement. Le carré fonctionne super bien.

Intervenant 12:39

Ok, le carré marche. Mais qu'en est-il des autres formes parfaitement régulières ?

Intervenant 22:45

Tu veux dire les formes où tous les côtés ont la même longueur et tous les angles sont identiques ?

Intervenant 12:48

Voilà. Est-ce que ça marche aussi facilement ?

Intervenant 22:50

En fait, Aristote avait déjà tranché cette question pendant l'Antiquité.

Intervenant 12:54

Ah ouais ? Il s'intéressait au carrelage ?

Intervenant 22:57

Preste. La mécanique géonétrique est hyper stricte. Pour que des carreaux se rejoignent parfaitement autour d'un point de contact central...

Intervenant 13:04

Un sommet, c'est ça ?

Intervenant 23:05

Ouais, un sommet. Eh bien, la somme de leurs angles à cet endroit précis doit faire très exactement 360 degrés.

Intervenant 13:12

Un cercle complet, quoi !

Intervenant 23:13

Voilà. Autrement dit, il faut que ça fasse le tour. Pour le triangle équilatéral, par exemple, chaque angle fait 60 degrés.

Intervenant 13:19

Donc 6 x 60, ça fait 360.

Intervenant 23:22

Exactement. Il en faut 6 pour faire le tour. Ça marche nickel.

Intervenant 13:25

D'accord.

Intervenant 23:26

Ensuite, pour le carré, l'angle est de 90 degrés. 4 carrés font 360. Ça marche aussi.

Intervenant 13:32

C'est logique.

Intervenant 23:32

Et après, on a l'hexagone régulier, la forme à 6 côtés. Son angle interne, c'est 120 degrés.

Intervenant 13:38

Donc 3 x 120, ça fait 360.

Intervenant 23:41

Parfaitement. C'est le fameux motif classique qu'on voit dans les nids d'abeilles, par exemple.

Intervenant 13:46

Il y a une anomalie évidente là, non ?

Intervenant 23:48

Comment ça ?

Intervenant 13:49

On passe d'une forme à trois côtés, puis quatre côtés, et paf, directement à six côtés.

Intervenant 23:55

Ah, le fameux trou dans la raquette !

Intervenant 13:58

On a complètement zappé la forme à cinq côtés. Le pentagone régulier, pourquoi il n'est pas dans la liste d'Aristote ?

Intervenant 24:05

Parce que les mathématiques sont parfois impitoyables, tu vois.

Intervenant 14:08

Ah oui.

Intervenant 24:08

Ouais, un pentagone régulier, ça possède des angles internes de 108 degrés.

Intervenant 14:14

Ok, 108.

Intervenant 24:16

Si on essaye d'appliquer notre règle des 360 degrés autour d'un sommet...

Intervenant 14:20

Alors, 3 pentagones, ça fait 3 fois 108 ?

Intervenant 24:23

Ça nous donne 324 degrés. D'accord,

Intervenant 14:26

donc on n'y est pas.

Intervenant 24:27

Non, il reste un petit espace vide de 36 degrés.

Intervenant 14:30

C'est trop petit pour y insérer un quatrième carreau.

Intervenant 24:33

Beaucoup trop petit, vu qu'il nous faudrait 108 degrés pour en rajouter un.

Intervenant 14:36

Ah oui, c'est mort.

Intervenant 24:37

Et si on force un quatrième, les carreaux vont se chevaucher.

Intervenant 14:41

Le fameux chevauchement interdit !

Intervenant 24:43

C'est ça. La conclusion, elle est froide et définitive. Le pavage du plan avec un pentagone régulier, c'est géométriquement impossible.

Intervenant 14:51

D'accord, donc le dossier des polygones réguliers, il est classé. On a le triangle, le carré et l'hexagone. Point.

Intervenant 24:58

C'est tout.