23 août 2021 · 8 min
Courbes barycentriques : quand le centre de gravité se déplace
Dans cet épisode audio, suivez les centres de gravité d’arcs successifs, de la courbe de départ au cercle qui engendre une cochléoïde.
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Un contenu original Tangente, adapté en podcast avec l’aide de l’IA et validé par notre rédaction. Comment ça marche ?
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Intervenant 1
Bienvenue dans le podcast du magazine Tangente. Aujourd'hui, on va faire une exploration géométrique assez fascinante parce que d'habitude, quand on pense au centre de gravité, on imagine un point, un point d'équilibre parfaitement statique, non ?
Intervenant 2
Oui, tout à fait. Un point fixe.
Intervenant 1
Voilà, vous posez une règle sur votre doigt, vous cherchez l'endroit exact où elle bascule et c'est terminé. Ça ne bouge plus du tout.
Intervenant 2
C'est l'image classique, oui.
Intervenant 1
Mais là, aujourd'hui, en plongeant dans un article récent de Tangente et en s'appuyant sur la super base de données Matcurve de Robert Ferriol, on va imaginer que ce fameux point d'équilibre, il prend vie, qu'il s'anime en fait et se met à dessiner ses propres trajectoires.
Intervenant 2
Et c'est vraiment là que la géométrie devient presque organique, je dirais. L'outil mathématique derrière tout ça, c'est ce qu'on appelle la courbe barycentrique.
Intervenant 1
D'accord.
Intervenant 2
C'est un concept qui a été formellement étudié dans les années 1880 par le mathématicien italien Ernesto Cesaro. L'idée fondatrice, en fait, c'est de prendre une ligne de départ, d'y fixer un point d'origine et d'observer tout simplement ce que fait le centre de gravité lorsqu'on avance le long de cette ligne.
Intervenant 1
Attendez, j'essaie de me représenter la physique du truc. Je commence à un point A et j'avance sur ma ligne. Mais au lieu de regarder ma position actuelle, je regarde où se trouve le point d'équilibre de tout le chemin que je viens de parcourir. Exactement. C'est comme si je déroulais un long fil de laine derrière moi au fil de ma marche et que je cherchais constamment le milieu de la masse de ce fil qui est étalé par terre.
Intervenant 2
L'image du fil qui s'allonge est très juste, oui. Plus vous avancez, plus votre fil virtuel devient long et donc lourd.
Intervenant 1
Ah, bien sûr.
Intervenant 2
Le centre de gravité va donc se déplacer pour refléter l'équilibre de toute cette masse matérielle qui s'accumule derrière vous. C'est ce qu'on appelle en mathématiques un barycentre continu.
Intervenant 1
Ok, faisons le test avec la forme la plus basique imaginable. Juste pour être sûr de bien comprendre.
Intervenant 2
Allez-y.
Intervenant 1
Si ma ligne de départ, c'est une simple droite tracée au sol. Je marche droit devant moi, je déroule mon fil droit derrière moi. Le point d'équilibre de ce fil, il reste bêtement sur cette même ligne, non ?
Intervenant 2
Ben oui, exactement. Il va se déplacer le long de votre fil, mais en restant toujours à peu près à mi-chemin entre votre point de départ et votre position actuelle.
Intervenant 1
D'accord.
Intervenant 2
Donc la courbe barycentrique d'une droite, c'est la droite elle-même. C'est la base, mais sur le plan visuel, ça n'apporte aucune géométrie nouvelle quoi.
Intervenant 1
D'accord, ouais, c'est assez logique. Mais du coup, puisque ça ne donne rien de fou, que se passe-t-il si je courbe ma trajectoire ?
Intervenant 2
Hein ?
Intervenant 1
Si, au lieu d'aller tout droit, je marche sur le bord d'un cercle fermé. Mettons un grand cercle parfait de rayon 1, centré au point et je commence à marcher depuis le point de coordonnée . Mon fil va épouser la forme du cercle.
Intervenant 2
Tout à fait.
Intervenant 1
Et là, le point d'équilibre de mon fil courbé, il ne peut plus physiquement rester sur le périmètre.
Intervenant 2
Non, c'est impossible.
Intervenant 1
Il va forcément, genre, tomber à l'intérieur du cercle.
Intervenant 2
Il va effectivement quitter la périphérie. Et c'est vraiment ici qu'intervient une propriété mécanique extraordinaire. A chaque instant, ce centre de gravité en mouvement, il pointe très exactement vers la position actuelle du boulifil.
Intervenant 1
Attendez, vraiment ?
Intervenant 2
Oui.
Intervenant 1
Donc, pour reprendre l'analogie, si je marche sur le bord du cercle en déroulant mon fil, le centre de gravité se dirige en ligne droite vers moi à tout moment.
Intervenant 2
C'est ça. Le mécanisme est implacable, en fait. Puisque vous ajoutez un tout petit morceau de fil à chaque pas, ce nouveau poids, aussi infime soit-il, va tirer le centre de gravité global dans sa direction immédiate. D'ailleurs, dans le numéro 74 de la bibliothèque Tangente, on explique très bien que ça transforme notre trajectoire en une véritable courbe de poursuite. Une courbe de poursuite. Oui, le centre de gravité agit un peu comme un chien de berger, voyez, qui ajusterait constamment sa course à l'intérieur de l'enclos pour foncer vers son maître qui marcherait sur la clôture.
Intervenant 1
Oh, j'adore cette métaphore. Mais alors, si je suis le maître, je fais un tour complet du cercle. Le chien s'est rapproché de moi vers l'intérieur de l'enclos.
Intervenant 2
C'est ça.
Intervenant 1
Cinq tours de cercle, je crois. Et si je fais cent tours, le chien finit par tourner frénétiquement en rond, bloqué au milieu.
Intervenant 2
Il tourne, oui, mais pas sur un cercle régulier. Repensez à la masse de votre fil.
Intervenant 1
D'accord.
Intervenant 2
Au fil des tours, le fil qui est posé sur le cercle devient de plus en plus long, donc de plus en plus lourd.
Intervenant 1
Ah, je crois que je saisis. Comme le fil accumulé derrière moi devient immense, les nouveaux petits pas que je fais ont de moins en moins d'influence sur le poids total. Voilà. Le poids de mon passé agit comme une encre, en fait.
Intervenant 2
Vous avez tout compris. L'inertie augmente. Mathématiquement, ça s'explique parce que vous divisez par la distance totale parcourue qui, elle, ne cesse de croître.
Intervenant 1
D'accord,
Intervenant 2
oui. La conséquence, c'est que le chien est de plus en plus ralenti et il a de plus en plus de mal à suivre vos changements de direction rapides.
Intervenant 1
Oh, le pauvre.
Intervenant 2
Et sa trajectoire dessine alors une spirale qui tourne et se resserre inéluctablement vers le centre exact du cercle.
Intervenant 1
Ce qui donne une figure bien spécifique, je suppose ?
Intervenant 2
Oui, cette magnifique spirale porte un nom, c'est la cocléoïde, avec des équations cartésiennes qui sont assez élégantes. Pour les abscisses, on a sin t sur t, et pour les ordonnées, 1 moins cosinus t, le tout sur t.
Intervenant 1
Ah, je vois le genre d'équation, oui.
Intervenant 2
Et le plus beau, c'est que le britannique John Wallis l'avait déjà signalé dès 1699, bien avant les travaux de César Roux sur les barycentres.
Intervenant 1
C'est fascinant de voir comment une simple accumulation de poids crée cette forme si précise. Mais il y a un détail dans nos sources qui m'a complètement bloqué.
Intervenant 2
Ah bon ? Lequel ?
Intervenant 1
Cette cochléoïde, cette fameuse spirale tracée par notre chien sur un plan en 2D. L'article affirme que c'est en fait la projection d'une forme en 3D.
Intervenant 2
Ah oui. Je
Intervenant 1
vais m'avoir besoin d'aide là. Comment une spirale plate peut cacher une forme en trois dimensions ?
Intervenant 2
C'est sans doute l'un des ponts les plus surprenants entre la 2D et la 3D. La cochléoïde, c'est effectivement la projection centrale d'une hélice circulaire. Imaginez un ressort métallique vertical posé sur une table.
Intervenant 1
D'accord, j'ai mon ressort.
Intervenant 2
Placez une toute petite ampoule lumineuse directement sur le fil de ce ressort, mais vraiment tout en
Intervenant 1
haut. OK.
Intervenant 2
Et maintenant, regardez l'ombre que ce ressort projette sur un plan ou une feuille de papier placée juste en dessous. La lumière éclaire le ressort depuis un point situé sur le ressort lui-même.
Intervenant 1
D'accord.
Intervenant 2
Les spires du bas, qui sont très éloignées de la lumière, projettent de grands cercles espacés.
Intervenant 1
Oh, je vois l'idée ! La lumière aplatit la profondeur. Et plus on remonte le regard le long du ressort en s'approchant de l'ampoule, plus l'angle d'éclairage change, et plus l'ombre des anneaux s'écrase et se recroqueville sur elle-même au centre.
Intervenant 2
Mais oui, exactement. L'ombre de ce simple ressort en 3D, ça donne très précisément la cochléoïde dont on parlait. Donc faire une moyenne de la masse sur un cercle ou éclairer un ressort depuis son propre sommet, bah ça décrit exactement la même structure géométrique profonde.
Intervenant 1
Ah c'est fou ! C'est ce qui est si grisant avec les mathématiques. On part d'une petite expérience mentale avec un bout de laine sur un cercle et on atterrit sur de connexions inattendues avec des ombres et de l'espace en trois dimensions.
Intervenant 2
Et c'est pour ça qu'on aime la géométrie quoi.
Intervenant 1
Tout à fait. Et ça m'amène à une dernière réflexion pour conclure. Puisque notre spirale plate s'avère être la projection cachée d'un ressort en 3D, que se passerait-il si on s'amusait à calculer la courbe barycentrique d'une ligne qui serpente déjà elle-même dans un espace en trois dimensions ?
Intervenant 2
Ah, ça c'est une excellente question pour aller plus loin !
Intervenant 1
N'est-ce pas ? Si le maître ne marche plus sur un cercle plat mais sur des montagnes russes, il va où le pauvre chien ? Eh bien, on vous laisse y réfléchir, à vos carnets de croquis !
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