23 août 2021 · 7 min
Convexité : du segment au théorème des trois points
L’épisode part du segment, passe par les barycentres, puis établit que chaque point de l’enveloppe convexe est un barycentre positif d’au plus trois points.
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Un contenu original Tangente, adapté en podcast avec l’aide de l’IA et validé par notre rédaction. Comment ça marche ?
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Intervenant 1
Bienvenue dans le podcast du magazine Tangente. Aujourd'hui, on va faire une plongée fascinante dans un problème géométrique qui donne des sueurs froides à pas mal de monde. Ah
Intervenant 2
oui, ça c'est sûr.
Intervenant 1
Ouais, imaginez un peu. Vous devez emballer une forme géométrique super complexe, un truc plein de creux, d'infractuosités, et vous devez la faire entrer dans la plus petite boîte parfaite possible. Sur le papier, ça a l'air de demander une infinité de calculs.
Intervenant 2
C'est ça, c'est le grand défi de l'optimisation géométrique en fait.
Intervenant 1
Et notre mission aujourd'hui, c'est de comprendre comment les mathématiciens arrivent à emballer ces géométries rebelles en utilisant des raccourcis totalement stupéfiants. Et ça, en explorant ce qu'on appelle les ensembles convexes.
Intervenant 2
Bah oui, parce que intuitivement, on sait tous à peu près ce qu'est un ensemble convexe,
Intervenant 1
non ? Oui, disons que si on imagine un ballon de rugby, c'est convexe. Mais un croissant de lune, ça ne l'est pas. Parce que si on trace une ligne droite entre les deux pointes du croissant, cette ligne passe par le vide, elle sort de la forme.
Intervenant 2
Et exactement, si un segment de droite qui relie deux points de la forme reste tout entier à l'intérieur, c'est convexe. Mais le vrai problème, il surgit quand la forme, eh bien, n'est pas convexe, comme votre croissant de lune, et qu'on cherche à l'étudier rigoureusement pour la circonscrire.
Intervenant 1
Et c'est là que ça devient compliqué, parce qu'à l'œil nu, on repère direct le creux dans le croissant. Mais comment on traduit ça, cette vérification visuelle, en un concept mathématique calculable ? On ne peut pas juste demander à une équation de regarder un dessin.
Intervenant 2
Non, ça, ça ne marche pas. Et c'est là qu'on abandonne le simple trait de crayon pour parler de barycentre.
Intervenant 1
Ah les barycentres ! En fait, un point quelconque qui se trouve sur ce segment géométrique, c'est pas juste une coordonnée tracée au hasard, c'est le barycentre de ces deux extrémités, avec des coefficients positifs.
Intervenant 2
Attendez, juste pour que ce soit bien clair pour tout le monde, donc au lieu de juste tracer un trait, on attribue des poids à ces extrémités ? Un peu comme si on cherchait un centre de gravité parfait entre deux masses ?
Intervenant 1
C'est tout à fait ça. Vous avez le point d'équilibre. Et cette mécanique, elle devient super puissante grâce à une propriété fondamentale qui est l'associativité.
Intervenant 2
D'accord.
Intervenant 1
Concrètement, ça veut dire que si vous avez un grand nombre de points, calculer le barré-centre d'un petit sous-groupe, puis faire le barré-centre du reste avec ce premier résultat, ça reviendra exactement au même que de tout calculer d'un seul coup.
Intervenant 2
Ah ouais, ok. La conséquence directe de ça, mathématiquement parlant, c'est que tout barycentre d'un nombre fini de points qui appartiennent à un domaine convexe va rester irrémédiablement prisonnier à l'intérieur de ce domaine. Il ne peut pas en sortir.
Intervenant 1
D'accord, je vois le truc du centre de gravité qui ne peut pas sortir de la figure. Ça marche bien si la forme de base est déjà convexe. Mais si on revient à notre forme biscornue de départ, on veut l'emballer dans ce qu'on appelle une enveloppe convexe. Et cette enveloppe, elle est définie, si je ne dis pas de bêtises, comme l'intersection de tous les ensembles convexes capables de la contenir, c'est ça ?
Intervenant 2
Oui, c'est la définition exacte.
Intervenant 1
Mais chercher l'intersection d'une infinité de formes, pardon, mais ça sonne comme une abomination mathématique qui nécessiterait une puissance de calcul infini.
Intervenant 2
Ben, ça le serait. Honnêtement, ça le serait totalement sans le théorème de Carathéodorie. C'est un théorème qui a été énoncé en 1907 pour les ensembles bornés et qui a ensuite été étendu par Ernst Steinitz en 1914. Et ce théorème, il vient littéralement briser cette barrière de l'infini.
Intervenant 1
Comment il fait ça, Pascal ?
Intervenant 2
Eh bien, il démontre que dans un plan classique, en deux dimensions, n'importe quel point situé à l'intérieur de cette fameuse enveloppe convexe peut s'écrire comme le barycentre d'au maximum trois points du domaine d'origine.
Intervenant 1
Attendez, attendez, je vais être sûre de bien saisir. Vous êtes en train de me dire que si ma forme géométrique hyper complexe possède, je ne sais pas, un milliard de sommets, j'ai besoin que de trois de ces points pour définir n'importe quelle position exacte dans son enveloppe convexe ?
Intervenant 2
Ça
Intervenant 1
me paraît mathématiquement hyper suspect. Enfin, comment on
Intervenant 2
élimine les 999 millions d'autres points ? Parce que tout point intérieur à votre forme complexe, aussi déchiqueté soit-elle, il finira toujours, inévitablement, par tomber à l'intérieur d'un simple triangle qui est formé par trois de ses sommets. Et du coup, les autres sommets de votre figure, ils ne servent plus à rien pour ce point précis. Ça devient juste de l'information redondante.
Intervenant 1
Ah, je vois le mécanisme. En fait, c'est exactement comme un système GPS basique sur une carte en 2D.
Intervenant 2
Ouais, c'est un bon exemple.
Intervenant 1
Il suffit de trois satellites pour trianguler une position exacte. Si on ajoute un quatrième ou un millième satellite, ça ne va pas modifier la coordonnée, c'est juste de la donnée superflue qu'on peut complètement ignorer.
Intervenant 2
C'est un excellent parallèle, ouais. Et fort de cette logique, les mathématiciens sont allés encore plus loin dans cette espèce d'économie de données.
Intervenant 1
C'est-à-dire ?
Intervenant 2
Eh bien, en 1929, il y a un mathématicien nommé Feng Shui, suivi de Bont en 1934, qui se sont demandé si on pouvait encore réduire ce besoin. Et ils ont prouvé que si notre domaine de départ possède au maximum deux composantes connexes...
Intervenant 1
Donc s'il est constitué de deux îles, deux morceaux distincts, c'est ça...
Intervenant 2
Exactement ! Eh bien dans ce cas précis, deux points suffisent.
Intervenant 1
Au lieu de trois !
Intervenant 2
Wow !
Intervenant 1
Donc plus on contraint la structure d'origine, plus on raccourcit le chemin de calcul en fait.
Intervenant 2
Voilà, c'est tout à fait ça.
Intervenant 1
Mais est-ce que cette économie incroyable, elle tient la route quand on quitte notre bon vieux plan en 2D pour aller dans des espaces en 3D ou 4D ou même au-delà ?
Intervenant 2
Absolument. La généralisation, elle est vraiment fascinante. Dans un espace de dimension n, pour définir un point de l'enveloppe, il vous faut au maximum n plus un point.
Intervenant 1
D'accord.
Intervenant 2
Et si le domaine initial est fracturé en un maximum de n morceaux, alors n points suffisent. Donc dans un espace entre dimensions, quatre points suffisent. Ou trois, si l'objet est séparé en trois morceaux. On réduit la complexité algorithmique de manière systématique.
Intervenant 1
Mais c'est une révélation majeure pour l'optimisation mathématique, ça. On manipule plus du tout l'infini, on se contente de cibler juste quelques bornes finies.
Intervenant 2
Bah ouais, on simplifie radicalement le problème.
Intervenant 1
Et ça, ça m'amène à une dernière réflexion assez vertigineuse pour clore notre discussion d'aujourd'hui.
Intervenant 2
Je vous écoute.
Intervenant 1
En ce moment, l'intelligence artificielle, on le sait, elle passe son temps à chercher des points d'équilibre dans des espaces de données en très très haute dimension. On parle de réseaux de neurones avec des milliards de paramètres.
Intervenant 2
Et
Intervenant 1
bien, puisque ces règles géométriques centenaires permettent d'éliminer de façon implacable le besoin de points superflus, est-ce que ces théorèmes de Cara Theodoris et Steinitz ne pourraient pas devenir une arme secrète pour simplifier et accélérer les IA de demain ?
Intervenant 2
Ah, c'est une excellente question ça !
Intervenant 1
Et bien, je vous laisse tous méditer là-dessus. Merci de nous avoir suivis et à très vite pour une nouvelle plongée mathématique.
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