Somme infinie : pourquoi les signes conduisent-ils à ln(2) ?

Intervenant 10:00

Bienvenue dans le podcast du magazine Tangente.

Intervenant 20:03

Bonjour Sam.

Intervenant 10:04

Imaginez un instant commencer avec le nombre 1. Ensuite vous y ajoutez un demi, puis un tiers, puis un quart, et ainsi de suite.

Intervenant 20:13

Une addition sans fin en somme.

Intervenant 10:15

Exactement. On continue comme ça en ajoutant des miettes mathématiques de plus en plus minuscules, des vraies poussières qui ne pèsent pratiquement plus rien, et là l'intuition nous hurle que cette addition va fatalement s'arrêter de grandir.

Intervenant 20:27

Ah bah oui, qu'elle va plafonner

Intervenant 10:28

logiquement ! Voilà. Et pourtant, si on continue assez longtemps, cette petite pile de fractions finira par peser plus lourd que l'univers tout entier. C'est vertigineux ! Comment est-ce possible ? Et bien c'est exactement ce genre de paradoxe qui va nous occuper aujourd'hui. Notre auditoire est invité à nous suivre dans une plongée au cœur de l'infinie mathématique. Une très belle plongée, oui. Nos sources pour cette exploration, qui rassemblent de passionnants dossiers de Tangente, des traités historiques d'analyse et nos propres notes, ont toutes une mission commune. Détortiquer comment les mathématiciens accomplissent l'exploit vertigineux d'additionner une infinité de nombres. Non seulement pour savoir si cette somme donne un résultat fini, mais pour en extraire une valeur d'une précision absolue.

Intervenant 21:13

Presque tabou dans l'histoire des sciences, n'est-ce pas ? Elles imposent un cadre La fameuse asymptote qu'une courbe approche sans jamais la toucher Exactement, c'est vraiment l'outil de base. Et pas besoin de replonger dans les définitions un peu laborieuses avec des Epsilon et des grands N de nos années de lycée.

Intervenant 11:56

Ah les fameux Epsilon !

Intervenant 21:58

Voilà, ça rappelle des souvenirs. Mais l'idée centrale suffit en fait. Une suite converge vers une limite si, peu importe la marge d'erreur microscopique qu'on s'impose, on finit toujours par y rester confiné à partir d'un certain point.

Intervenant 12:12

Bon, décortiquons un peu tout ça.

Intervenant 22:14

Je vous en prie.

Intervenant 12:15

Si je veux vulgariser ça, c'est un peu comme un jeu de fléchettes,

Intervenant 22:18

non ? Comment ça ?

Intervenant 12:20

Eh bien, imaginons que la cible, qui représente notre fameux epsilon, rétrécisse constamment. D'accord. Mais la règle mathématique stipule qu'à partir d'un certain lancé, qu'on appelle le rang grand N, on a la garantie absolue de toujours toucher le centre. Et ça, pour l'éternité.

Intervenant 22:39

Ah, c'est une excellente analogie, c'est exactement cette mécanique. On force la suite de nombres à rester piégés dans la cible.

Intervenant 12:46

Voilà, pour la fondation. La cible rétrécit, mais on finit par l'atteindre à coup sûr. Mais, euh, là où notre exploration passe à la vitesse supérieure, c'est qu'on ne regarde pas juste une liste de nombres qui avancent.

Intervenant 22:59

Non, en effet.

Intervenant 13:00

On prend ces nombres et on les empile. On calcule leurs sommes cumulées étape par étape.

Intervenant 23:05

Ce que l'on appelle dans notre jargon la suite des sommes partielles.

Intervenant 13:09

C'est ça. Donc si le premier terme est 1, le deuxième 1,5, ma première somme est 1, la deuxième est 1,5, la troisième est environ 1,83. Ça monte doucement. L'objectif ultime, c'est de découvrir si cette montagne en construction, cette série, s'arrête de grandir pour se figer sur une limite exacte.

Intervenant 23:29

Somme totale Somme totale Somme totale

Intervenant 13:49

le fameux piège de l'intuition que je mentionnais en introduction ?

Intervenant 23:52

Tout à fait.

Intervenant 13:53

Mais logiquement, une déduction s'impose à quiconque regarde le problème. Pour qu'une montagne arrête de s'élever, il faut impérativement que les rochers qu'on y ajoute deviennent de plus en plus petits

Intervenant 24:04

jusqu'à devenir de la simple poussière,

Intervenant 14:06

oui. Donc, la condition sine qua non pour qu'une série converge, c'est que le terme général qu'on ajoute à chaque étape tende vers zéro. Jusque-là, on est d'accord.

Intervenant 24:16

Le terme ajouté doit s'effacer. C'est impératif. Alors voici ma question. Si j'ajoute des éléments qui deviennent infiniment petits, pourquoi la somme totale ne se stabiliserait-elle pas forcément ?

Intervenant 14:41

La montagne ne peut plus s'élever si on ne lui ajoute que des atomes. Prenez la série que j'évoquais tout à l'heure, la célèbre série harmonique.

Intervenant 24:48

Celle avec les inverses des entiers ?

Intervenant 14:49

C'est ça. Un plus un demi plus un tiers plus un quart. Et on continue. Un centième, un millionième, on ajoute pratiquement du

Intervenant 24:58

néant.

Intervenant 15:00

Et pourtant, nos sources sont catégoriques là-dessus. Cette série diverge. Elle explose vers l'infini. C'est contre-intuitif au possible, non ?

Intervenant 25:09

Elle prouve que notre cerveau n'est pas câblé pour l'infini. En quelque sorte. Elle prouve surtout que tendre vers zéro n'est pas suffisant. En fait, il faut tendre vers zéro suffisamment vite.

Intervenant 15:26

D'accord.

Intervenant 25:27

Et pour comprendre le pourquoi caché derrière ce paradoxe, on ne peut pas se contenter de regarder les termes un par un. Il faut regarder leur poids collectif.

Intervenant 15:34

Leur poids collectif, comment on fait ça ?

Intervenant 25:36

Imaginez que nous regroupions les termes de cette édition en petits paquets.

Intervenant 15:40

Ok, je vous suis.

Intervenant 25:41

Laissez le un et le un demi tranquille de côté. Regardez les deux termes suivants. Un tiers plus un quart.

Intervenant 15:48

Oui, un tiers plus un quart.

Intervenant 25:50

Un tiers est strictement plus grand qu'un quart, n'est-ce pas ?

Intervenant 15:53

Oui, mathématiquement oui. Donc,

Intervenant 25:56

la somme un tiers plus un quart est strictement supérieure à un quart plus un quart.

Intervenant 16:01

Ah ! Et un quart plus un quart, ça fait deux quarts, donc un demi !

Intervenant 26:05

Exactement !

Intervenant 16:05

Attendez, je vois la ruse. On regroupe par bloc. Donc le bloc du tiers et du quart vaut, au minimum, plus qu'un demi.

Intervenant 26:13

Précisément. Maintenant, prenons le bloc suivant. Les quatre termes qui suivent, un cinquième, un sixième, un septième et un huitième.

Intervenant 16:22

Ok.

Intervenant 26:23

Chacun d'eux est supérieur ou égal à un huitième. Or, quatre fois un huitième, ça fait encore une fois un demi.

Intervenant 16:29

Ouah !

Intervenant 26:29

et si on prend les huit termes suivants, jusqu'à un seizième, leur somme dépassera encore un demi ?

Intervenant 16:35

Mais c'est brillant et complètement diabolique à la fois ! N'est-ce pas ? En fait, on doit créer une infinité de blocs, de nombres, et chaque bloc, quand on additionne ces termes, pèse au moins un demi.

Intervenant 26:46

? C'est toute la subtilité.

Intervenant 16:48

Et comme on a une infinité de blocs qui valent chacun un demi, bah on additionne un demi une infinité de fois.

Intervenant 26:55

Ce qui fait que l'explosio est mathématiquement inévitable.

Intervenant 16:57

La montagne est faite de poussière, certes, mais le volume de poussière est tel qu'il reconstruit des briques entières d'un demi, pour l'éternité.

Intervenant 27:04

Vous venez de formuler de manière très imagée la démonstration historique du savant Nicoloresme, qui date tout de même du XIVe siècle.

Intervenant 17:11

Du XIVe siècle. Impressionnant.

Intervenant 27:13

Oui.