27 sept. 2017 · 7 min
Comment une sphère tient-elle dans une balle de ping-pong ?
Dans cet épisode audio, suivez comment Hévéa, projet de chercheurs lyonnais, réduit une sphère en conservant les plus courts chemins à sa surface.
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Un contenu original Tangente, adapté en podcast avec l’aide de l’IA et validé par notre rédaction. Comment ça marche ?
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Intervenant 1
Bienvenue dans le podcast du magazine Tangente. Aujourd'hui, on va vous proposer un défi mental, disons, assez particulier.
Intervenant 2
Oui, il faut un peu d'imagination pour le coup.
Intervenant 1
Oui, voilà. Imaginez une orange géante, vraiment géante, disons de la taille de la Terre.
Intervenant 2
D'accord.
Intervenant 1
Et votre mission, en fait, c'est de l'emballer avec un tout petit morceau de papier.
Intervenant 2
Genre de quelle taille ?
Intervenant 1
La taille d'une balle de ping-pong.
Intervenant 2
Ah oui, carrément. Bonne chance.
Intervenant 1
C'est ça. Et la règle stricte, c'est que vous ne pouvez ni étirer ce papier, ni le déchirer, ni modifier sa structure interne. C'est l'exploration d'aujourd'hui. On va essayer de comprendre comment des mathématiciens ont théorisé, puis visuellement réalisé ce miracle géométrique.
Intervenant 2
Physiquement, c'est vrai que notre intuition hurle à l'impossibilité. Si on essaye de forcer une surface immense dans un volume minuscule, et ça sans l'étirer, la logique veut qu'on écrase la matière.
Intervenant 1
Qu'on fasse des plis quoi.
Intervenant 2
Voilà, des plis cassants. Et donc qu'on détruise irrémédiablement les distances internes de la surface. Ce qu'on appelle en mathématiques les distances géodésiques.
Intervenant 1
Et c'est justement ça qui rend l'exploit de l'équipe Lyonaz du projet EVA si troublant en fait. C'est l'équipe dirigée par Vincent Borrelli.
Intervenant 2
Oui, qui a d'ailleurs reçu le prix Tangente en 2015.
Intervenant 1
Exactement. Ils ont réussi ce qu'on appelle une réduction isométrique. Donc une réduction qui préserve parfaitement ces fameuses distances géodésiques. Et ça d'une sphère de rayon 1 vers une forme vraiment microscopique.
Intervenant 2
Mais avant d'arriver à leur visualisation en 2017, ce tasse-tête, il a mijoté longtemps. Ah ouais ? Ouais, il faut remonter aux années 50. Nicolas Squipper et John Nash avaient déjà posé les bases de ces objets bizarres, comme des torps plats ou des sphères réduites.
Intervenant 1
D'accord, mais alors s'ils avaient la théorie, qu'est-ce qui manquait ?
Intervenant 2
À l'époque, ils pataugeaient dans un formalisme qui était totalement aveugle.
Intervenant 1
Aveugle, c'est-à-dire ?
Intervenant 2
Les équations de Nash et Kuiper prouvaient de manière implacable que ces structures
Intervenant 1
existaient.
Intervenant 2
Mais ils n'avaient absolument aucun outil mathématique ou informatique pour s'en faire une représentation
Intervenant 1
mentale.
Intervenant 2
C'était une théorie fantôme.
Intervenant 1
Mais attends, c'est là que je bute un peu sur la rigueur géométrique de leur démarche. De ce que je comprends des théorèmes classiques, on ne peut absolument pas déformer une sphère tout en gardant ses longueurs internes si on exige que la déformation soit lisse. Tu sais, sans arrêt de vivre. Enfin, ce qu'on appelle une surface deux fois différenciable. Comment ils ont pu, je sais pas, franchir ce mur qui semblait mathématiquement absolu ?
Intervenant 2
En fait, en exploitant une subtilité fondamentale dans la définition même du mot « lisse ».
Intervenant 1
C'est-à-dire ?
Intervenant 2
La géométrie classique, elle travaille effectivement avec des surfaces deux fois différenciables, donc de classe C2. Physiquement, ça signifie que la courbure de l'objet, elle est plafonnée. On limite mathématiquement la façon dont la surface peut se plier de manière abrupte. Ce qui lui donne une grande rigidité.
Intervenant 1
Ok, donc c'est très contraint ?
Intervenant 2
Et l'astule de Nash et Kuper, qui a été magistralement mise en image par le projet EVA d'ailleurs, ça a consisté à relâcher cette contrainte pour passer en classe C1.
Intervenant 1
Classe C1, donc continuellement différenciable.
Intervenant 2
Exactement.
Intervenant 1
Donc si je sais si bien le truc, on abandonne le contrôle strict de la courbure. On s'autorise à tordre la surface de manière extrême tant qu'on garde, disons, un plan tangent continu.
Intervenant 2
Voilà.
Intervenant 1
Donc sans véritable cassure ou pointe à serrer, c'est ça ?
Intervenant 2
Dans le volume d'une balle de ping-pong.
Intervenant 1
On fait des plis partout.
Intervenant 2
On crée des vagues, puis des vaguelettes sur ces vagues. Et ainsi de suite, on condense la matière en l'ondulant frénétiquement. C'est fou. Tout en préservant chaque millimètre de la distance initiale. Puisqu'on ne fait que plier, on n'étire jamais.
Intervenant 1
Ce qui nous amène du coup à la révélation visuelle. Parce que quand l'équipe de Borrelli a publié l'image de cette sphère dans la revue Foundations of Computational Mathematics en 2017... Oui ? On a enfin vu à quoi ressemblait ce monstre de classe C1. C'est ce qu'ils appellent une sphère corugée.
Intervenant 2
Visuellement, c'est un objet assez fascinant. Il possède deux petites calottes sphériques, le pôle nord et le pôle
Intervenant 1
sud,
Intervenant 2
qui demeurent parfaitement lisses au sens classique du terme.
Intervenant 1
Et le reste ?
Intervenant 2
Toute l'étrangeté se situe entre les deux, du coup.
Intervenant 1
C'est ça. L'équateur, en fait, c'est une immense ceinture d'ondulation extrêmement dense. Une espèce de bande plissée vertigineuse qui relie les deux pôles.
Intervenant 2
Tu sais, en lisant les sources pour préparer, cette accumulation infinie de plis pour stocker de la surface, ça m'a immédiatement fait penser au fractal.
Intervenant 1
Ah oui, tout à fait. C'est la même logique que la courbe de Foncoche, tu sais, le fameux flocon de neige.
Intervenant 2
Oui, le flocon.
Intervenant 1
Où on ajoute des motifs triangulaires à l'infini sur un périmètre restreint pour allonger la distance globale.
Intervenant 2
La courbe de Von Koch, elle illustre très bien cette idée d'enfermer une immensité dans un espace fini. Mais la différence majeure, et c'est là toute la prouesse de l'équipe EVA, c'est que le flocon de Koch, il est rempli de pointes acérées.
Intervenant 1
Ah oui, c'est piquant quoi.
Intervenant 2
Voilà. Là où notre sphère corruguée, elle, ne présente aucune rupture brutale. Les ondulations, elles s'emboîtent, elles se densifient, mais la transition reste d'une douceur mathématique absolue.
Intervenant 1
D'où l'expression de Vincent Bourrelli en fait.
Intervenant 2
Voilà.
Intervenant 1
C'est une fractale lisse.
Intervenant 2
Exactement. C'est une fractale lisse. On a la structure d'emboîtement infini d'une fractale, mais avec la continuité d'une surface qui glisse sans
Intervenant 1
accroc. Franchement, c'est vertigineux de réaliser que cette infinité de vaguelettes caressantes, c'est la seule astuce qui permet de tricher avec le volume physique apparent.
Intervenant 2
On froisse l'espace.
Intervenant 1
Oui, on froisse l'espace avec une minutie chirurgicale.
Intervenant 2
Et cette capacité à froisser l'espace géométrique sans briser ses propriétés fondamentales, ça pousse la réflexion bien au-delà de la géométrie pure en fait.
Intervenant 1
Ah ouais.
Intervenant 2
Vers la physique.
Intervenant 1
Oui, en physique théorique. Notamment avec la théorie des cordes, on postule souvent l'existence de dimensions spatiales supplémentaires.
Intervenant 2
Oui, les petites dimensions enroulées sur elles-mêmes, c'est ça qui serait extrêmement petit et replié. Eh bien, si une surface C1 peut cacher l'équivalent d'une planète dans une balle de ping-pong grâce à, disons, une ceinture de fractale lisse, on peut légitimement se demander si les dimensions cachées de notre propre univers ne sont pas simplement repliées selon ces mêmes principes géométriques aberrants.
Intervenant 1
Donc invisible à nos instruments, mais fondamentalement structurante.
Intervenant 2
Exactement.
Intervenant 1
De quoi lever les yeux vers le ciel, ou même scruter l'infiniment petit avec un tout nouveau regard sur la texture même de la réalité. Et du coup, la prochaine fois que vous essayez d'emballer une orange, rappelez-vous que la seule vraie barrière, c'est peut-être qu'une question de différenciabilité. Merci de nous avoir accompagnés et à bientôt pour une nouvelle analyse.
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