Comment le mathématicien Cantor distingue-t-il les infinis ?

Intervenant 10:00

Bienvenue à toutes et à tous dans le podcast du magazine Tangente.

Intervenant 20:03

Bonjour, ravie d'être là pour cette discussion.

Intervenant 10:06

Imaginons juste un instant une salle d'attente qui ne s'arrête littéralement jamais.

Intervenant 20:11

Avec genre une infinité de chaises, c'est ça du

Intervenant 10:14

signe ? Oui, exactement. Une salle infinie et toutes ces chaises sont occupées par une infinité de patients.

Intervenant 20:19

D'accord.

Intervenant 10:20

Et soudain, un nouveau patient entre. Est-ce qu'on peut lui trouver une place ?

Intervenant 20:25

Eh bien, étonnamment, oui.

Intervenant 10:27

C'est fou quand on y pense ?

Intervenant 20:28

Mais du coup, ça devient encore plus fou. Que se passe-t-il si une infinité de bus contenant chacun une infinité de nouveaux patients vient se garer devant cette même salle ?

Intervenant 10:38

Là, ça donnait le vertige, quoi.

Intervenant 20:39

Complètement.

Intervenant 10:40

Comment l'esprit humain peut-il espérer mesurer ou comparer la taille de trucs qui n'ont littéralement aucune fin ?

Intervenant 20:48

C'est vraiment le cœur de notre exploration aujourd'hui. On va plonger dans les travaux de Georges Cantor.

Intervenant 10:54

Un mathématicien plutôt révolutionnaire ?

Intervenant 20:56

Ah bah carrément ! Son intuition, ça a été de proposer une méthode pour mettre de l'ordre dans l'infini.

Intervenant 11:02

Et notre mission aujourd'hui, pour les esprits curieux à l'écoute, c'est de décortiquer tout ça.

Intervenant 21:06

Voilà. Le défi, c'est de vulgariser ces concepts sans perdre la rigueur mathématique absolue de la démonstration.

Intervenant 11:13

Garder les bases solides mais de façon accessible

Intervenant 21:15

quoi. Exactement. Et je suis sûre que ça va plaire autant aux néophytes qu'aux passionnaires.

Intervenant 11:20

Alors, décortiquons cela. Avant même de s'attaquer à l'infini, il y a un obstacle logique de base.

Intervenant 21:25

Ah bon ? Lequel ?

Intervenant 11:26

Comment on affirme que deux ensembles ont la même taille ? Ce qu'on appelle le même cardinal en maths.

Intervenant 21:33

Ah oui, la question du comptage.

Intervenant 11:35

Voilà, dans la vraie vie, on compte. 1, 2, 3. Et on compare le total.

Intervenant 21:41

Sauf qu'avec l'infini, le comptage, ça ne s'arrête jamais.

Intervenant 11:44

Du coup, on fait comment ?

Intervenant 21:46

Le comptage classique devient obsolète, donc on utilise un concept super élégant qui s'appelle la bijection.

Intervenant 11:53

La bijection ?

Intervenant 21:54

Ouais, c'est une méthode de comparaison directe sans jamais utiliser de nombre.

Intervenant 11:59

Attends, comment on compare sans

Intervenant 22:01

compter ? Reprends l'exemple des chaises. Si on veut savoir s'il y a autant de chaises que de personnes dans la salle d'attente, on n'a pas besoin de compter toutes les chaises, puis toutes les personnes. Il suffit de demander à tout le monde de s'asseoir.

Intervenant 12:11

Ah je vois, et si personne n'est debout et qu'aucune chaise n'est vide, paf, même taille.

Intervenant 22:16

C'est ça, c'est le principe de base de la bijection quoi. On associe chaque élément du groupe de départ à un seul élément du groupe d'arrivée. Le logique hyper strict.

Intervenant 12:24

Pour que l'outil tienne la route

Intervenant 22:25

quoi. Voilà, la réflexivité, la symétrie et la transitivité.

Intervenant 12:30

Oula, des grands mots.

Intervenant 22:31

En fait c'est super simple, la réflexivité c'est juste dire qu'un ensemble a la même taille que lui-même.

Intervenant 12:37

Bah oui, on associe chaque élément à lui-même, logique.

Intervenant 22:40

La symétrie, c'est que si tu peux relier le départ à l'arrivée, tu peux juste inverser le sens.

Intervenant 12:45

Remonter le lien dans l'autre sens, d'accord.

Intervenant 22:47

Et enfin, la transitivité, c'est le fait de créer des ponts. Si un groupe A a la même taille qu'un groupe B, et que B a la même taille que C.

Intervenant 12:55

Alors A a la même taille que C. C'est hyper intuitif en fait.

Intervenant 23:00

Complètement. La bijection valide tout ça sans effort.

Intervenant 13:03

Bon, jusqu'ici, la mécanique est limpide. Mais en parcourant les notes pour cette exploration, j'ai tiqué sur un détail sémantique.

Intervenant 23:11

Quel détail ?

Intervenant 13:12

Les textes parlent toujours de relations d'équivalence sur la classe des ensembles.

Intervenant 23:15

Ah oui, le fameux mot classe.

Intervenant 13:17

Oui, pourquoi ils évitent soigneusement de dire l'ensemble de tous les ensembles. C'est troublant.

Intervenant 23:22

C'est une excellente question.

Intervenant 13:24

C'est comme si on voulait prendre toutes les boîtes de l'univers et les ranger dans une seule boîte géante. Pourquoi on n'a pas le droit de faire ça ?

Intervenant 23:30

Ce qui est fascinant ici, c'est que cette idée de la boîte géante, ça a l'air naturel. Mais c'est un piège mortel pour la logique.

Intervenant 13:36

Un piège mortel ? Carrément !

Intervenant 23:39

C'est là qu'intervient Bertrand Russell avec son célèbre paradoxe. Il a littéralement fait trembler les fondations des maths avec ça.

Intervenant 13:46

Ah ouais, la fameuse crise des fondements ?

Intervenant 23:48

Exactement. Russell teste les limites de l'appartenance. Il dit, ok, si l'ensemble de tous les ensembles existe…

Intervenant 13:56

Il doit être contenu dans lui-même, puisqu'il est lui-même un ensemble, non ?

Intervenant 24:00

Voilà, c'est super contre-intuitif, mais admettons qu'un objet abstrait puisse s'appartenir.

Intervenant 14:04

Ok, on l'accepte. Et du coup ?

Intervenant 24:07

Russell propose une expérience de pensée diabolique. C'est l'analogie du bibliothécaire.

Intervenant 14:12

J'adore cette histoire.

Intervenant 24:14

Imaginons un bibliothécaire qui reçoit une mission très spéciale. Il doit créer un catalogue et ce catalogue doit lister exclusivement tous les catalogues qui ne se mentionnent pas eux-mêmes.

Intervenant 14:24

D'accord, donc la règle est super stricte. Si un catalogue s'auto-mentionne, on le bannit du nouveau registre.

Intervenant 24:30

C'est ça, et s'il ne s'auto-mentionne pas, il y entre.

Intervenant 14:33

Le bibliothécaire fait son bolo, il scanne toute la bibliothèque.

Intervenant 24:37

Mais à la toute fin, il se retrouve avec son propre nouveau catalogue entre les mains.

Intervenant 14:41

Et là, c'est le drame.

Intervenant 24:43

Le problème insoluble. Est-ce qu'il doit l'inscrire dans sa propre liste ?

Intervenant 14:47

Faisons le test. S'il l'inscrit à l'intérieur, le catalogue se mentionne lui-même, du coup. Oui. Mais la règle dit qu'il ne doit contenir que ceux qui ne s'auto-mentionnent pas eux-mêmes. Donc il doit l'effacer.