Colorier le plan : cinq, six ou sept couleurs ?

Intervenant 10:00

Bienvenue dans le podcast du magazine Tangente. Pour commencer notre exploration d'aujourd'hui, j'ai envie de rappeler une règle que vraiment tout cartographe connaît sur le bout des doigts.

Intervenant 20:09

Ah, tu parles du fameux théorème des quatre couleurs,

Intervenant 10:11

non ? Exactement. En gros, si on dessine une carte, peu importe laquelle, on a besoin de seulement quatre couleurs pour s'assurer que deux pays frontaliers n'aient jamais la même teinte.

Intervenant 20:20

C'est ça. Le problème est carré, il est fini, c'est réglé.

Intervenant 10:23

Voilà. Mais bon, aujourd'hui, on va s'appuyer sur l'article « coloriage du plan quand la géométrie se mêle de topologie » et on va voir ce qui se passe quand on arrache cette carte finie pour tenter de colorier l'infini.

Intervenant 20:34

Et franchement, le défi est de taille, parce qu'en 1950, il y a Edward Nelson qui pose un problème assez redoutable. Il cherchait ce qu'on appelle le nombre chromatique du plan.

Intervenant 10:44

Visualiser ça, c'est d'imaginer qu'on jette un bâton rigide d'exactement un mètre au hasard sur un sol infini.

Intervenant 20:51

D'accord, ouais.

Intervenant 10:52

Peu importe comment il tombe, ces deux extrémités ne peuvent absolument jamais toucher la même couleur. Mais du coup, comment on fait des mathématiques sur un sol qui est infini et continu ?

Intervenant 21:00

Bah, on discrétise. En fait, au lieu d'essayer de manipuler chaque coordonnée d'un plan en continu, ce qui, bon, échappe un peu à nos outils classiques, on transforme l'espace en graphes.

Intervenant 11:09

On place des points, en somme.

Intervenant 21:11

C'est ça, les points mathématiques deviennent les sommets de ce graphe. Et si deux de ces points sont à une distance d'exactement un, hop, on trace une ligne entre eux, une arête.

Intervenant 11:21

D'accord, donc on ramène l'infini géométrique à un réseau de connexion beaucoup plus concret.

Intervenant 21:26

Exactement. Et c'est justement avec ces graphes qu'on a pu encadrer le problème historiquement, tu vois. On a découvert que la réponse se situait obligatoirement entre quatre et sept.

Intervenant 11:36

Entre quatre et sept, OK. Mais concrètement, comment on a obtenu ces limites ?

Intervenant 21:40

Alors, pour le minimum de quatre, c'est grâce à des structures comme le fuseau de Mauser. C'est un petit graphe super astucieux de seulement sept sommets. Et quand on essaie de le colorier avec seulement trois couleurs, tout en gardant notre règle de la distance de 1 pour chaque arête, on coince.

Intervenant 11:57

Il faut obligatoirement une quatrième couleur, quoi.

Intervenant 21:59

Voilà, c'est mathématique. Et à l'inverse, pour le plafond de sept, c'est le mathématicien John Isbell qui a eu une idée brillante. Il a imaginé un pavage infini d'hexagones.

Intervenant 12:11

Ah oui, et la subtilité ici, c'est que ces hexagones ont un diamètre très légèrement inférieur à un.

Intervenant 22:17

Tout à fait. Du coup, n'importe quelle paire de points située à l'intérieur d'un même hexagone sera toujours séparée par une distance de moins de un.

Intervenant 12:25

Ce qui veut dire qu'on peut colorier tout l'hexagone d'une seule et même couleur sans violer la règle.

Intervenant 22:31

C'est exactement ça. En agençant sept couleurs différentes selon un motif répétitif, on recouvre tout le plan de ces petits hexagones sans jamais que deux points d'une même couleur ne soient à une distance de 1.

Intervenant 12:42

Mais attends, si la réponse est forcément quatre, cinq, six ou sept, et sachant qu'on a des supercalculateurs aujourd'hui, pourquoi ne pas juste faire tourner un algorithme pour vérifier chaque possibilité et clôturer le dossier une bonne fois pour toutes ?

Intervenant 22:59

Parce qu'il y a une différence fondamentale entre un graphe avec un nombre défini de sommets, même énorme, et l'infinité indénombrable d'un plan continu.

Intervenant 13:08

Ah, la machine s'y perdrait !

Intervenant 23:10

C'est ça. Un ordinateur excelle pour tester des combinaisons sur un nombre fini d'éléments, mais balayer une infinité de points continu par la force brute, c'est tout simplement impossible mathématiquement.

Intervenant 13:21

Il fallait donc une vraie astuce de construction et pas juste de la puissance de calcul bête et méchante.

Intervenant 23:26

Exactement. Et le plus fou, c'est que cette astuce n'est même pas venue du sérail mathématique institutionnel.

Intervenant 13:32

Ah oui, ça, c'est la meilleure partie. Ça vient d'Aubrey de Grey, qui est biologiste à la base. Et c'est lui qui a récemment réussi à prouver que quatre couleurs, ça ne suffisait pas.

Intervenant 23:42

Oui, il a fait grimper le minimum à cinq. En fait, De Grey a assemblé un réseau géant. Il a combiné de multiples graphes en intégrant des milliers de copies de ce fameux fuseau de Mauser, jusqu'à forcer un conflit insoluble à quatre couleurs.

Intervenant 13:56

Et on parle d'une structure de plus de 20 000

Intervenant 23:57

sommets, c'est ça ? 20 245 sommets, très précisément.

Intervenant 14:01

C'est vertigineux. Et c'est seulement là, sur cette structure gigantesque mais finie, que l'ordinateur a enfin pu être utile pour vérifier qu'aucune combinaison de quatre couleurs ne marchait.

Intervenant 24:13

Absolument. Le graphe a d'ailleurs été ensuite épuré par un autre chercheur, Marine Hull, qui a réussi à condenser la preuve sur 826 sommets.

Intervenant 14:22

Ce qui démontre de manière irréfutable qu'on le nombre chromatique du plan est d'au moins cinq. C'est fou comme l'interdisciplinarité a permis de débloquer des décennies de stagnation.

Intervenant 24:32

Oui, un biologiste qui vient dépoussiérer un vieux casse-tête topologique, c'est quand même beau.

Intervenant 14:37

C'est clair. On part d'un simple coloriage de carte géographique pour s'enfoncer dans une énigme où la géométrie du plan infini résiste encore. Parce qu'au final, la vraie valeur…

Intervenant 24:48

Cinq, six ou sept ?

Intervenant 14:49

On ne la connaît toujours pas.

Intervenant 24:51

Non. Ce qui soulève d'ailleurs une question assez fascinante sur la nature de nos démonstrations futures, je trouve.

Intervenant 14:56

C'est vrai. Si pour simplement éliminer la quatrième couleur, il a fallu construire un réseau complexe de 20 000 sommets vérifiables uniquement par la puissance d'une machine,

Intervenant 25:05

alors on peut légitimement se demander à quoi ressemblera la preuve finale pour cinq, six ou sept.

Intervenant 15:10

Est-ce que cette future solution exigera une structure tellement dense, tellement intriquée, qu'aucun cerveau humain ne pourra jamais l'appréhender ou la vérifier seul ?

Intervenant 25:20

C'est une vraie possibilité.

Intervenant 15:22

L'ère des mathématiques entièrement vérifiable par l'esprit humain touche peut-être à sa fin. De quoi laisser ceux qui nous écoutent bien songeurs sur l'évolution de notre compréhension de l'infini. Merci de nous avoir suivis et à bientôt.