Cinq points, un quadrilatère convexe et un mariage

Intervenant 10:00

Bienvenue dans le podcast du magazine Tangente. Je suis vraiment ravie d'accueillir tous ceux qui nous écoutent aujourd'hui pour cette nouvelle exploration.

Intervenant 20:08

Salut, oui, c'est un vrai plaisir d'être là. On a un sujet assez incroyable aujourd'hui.

Intervenant 10:13

Absolument. D'habitude, quand on pense aux grandes percées scientifiques, on s'imagine tout de suite des laboratoires ultra modernes ou des super ordinateurs.

Intervenant 20:23

Ou des accélérateurs de particules géants, ce genre de trucs.

Intervenant 10:25

C'est ça. Mais là, la mission d'aujourd'hui, c'est de comprendre comment cinq simples petits points, juste tracés au crayon sur un coin de table, ont pu donner naissance à une branche entière des mathématiques.

Intervenant 20:37

Rien que ça.

Intervenant 10:38

Et même, fait rarissime dans l'histoire des sciences, ça a carrément donné naissance à un mariage.

Intervenant 20:44

Oui, l'histoire est vraiment belle. En fait, notre exploration s'appuie sur l'analyse d'un article fascinant qui s'intitule « Le problème à l'heureuse issue ».

Intervenant 10:54

Un super titre d'ailleurs.

Intervenant 20:56

Vraiment. Et ce texte illustre parfaitement cette beauté singulière des mathématiques. Ce qui est fascinant ici, c'est qu'on a un problème d'une simplicité enfantine en apparence.

Intervenant 11:05

Un petit puzzle visuel quoi.

Intervenant 21:07

Exactement. Mais qui cache en réalité des abysses de complexité. Donc, pour bien comprendre, il faut qu'on plante un peu le décor et qu'on se transporte dans le Budapest du début des années 1930.

Intervenant 11:18

Oui, le cadre est hyper romanesque. Donc, on est en 1933, dans un parc de Budapest. Il y a un groupe de jeunes étudiants et de mathématiciens passionnés qui s'y réunit très régulièrement pour débattre.

Intervenant 21:30

Ils aimaient bien se lancer des défis, en fait.

Intervenant 11:32

C'est ça. Et ils se faisaient appeler Anonymous, en hommage à la statue sous laquelle ils se retrouvaient, la statue de l'auteur inconnu de la Gesta Ungarorum, la plus ancienne chronique hongroise.

Intervenant 21:44

Ouais, et ce n'était pas n'importe qui dans ce groupe. Il y avait des esprits qui allaient marquer le siècle, comme Pal Thuram, Pal Erdos ou encore Giorgi Tsékeres.

Intervenant 11:53

Que du beau monde. Et au milieu de toute cette effervescence, il y a une jeune mathématicienne qui s'appelle Esther Klein. Et elle arrive avec une énigme d'une pureté géométrique absolue.

Intervenant 22:06

Son défi est génial parce qu'il tient en deux phrases. Elle leur dit en gros, prenez une feuille de papier, dessinez cinq points au hasard, vraiment au pif. La seule contrainte, c'est de ne jamais aligner parfaitement trois points. Et là, elle parie qu'on peut toujours, obligatoirement, en sélectionner quatre parmi ces cinq pour former les sommets d'un quadrilatère convexe.

Intervenant 12:28

Alors décortiquons un peu ça pour ceux qui nous écoutent, juste pour qu'on ait tous la même image en

Intervenant 22:32

tête. C'est important de définir ce qu'est un quadrilatère convexe.

Intervenant 12:36

C'est très visuel en fait. On cherche une figure à quatre côtés qui est bien rondie, sans aucun creux. Si on imagine un cerf-volant classique dans le ciel, ça c'est convexe.

Intervenant 22:46

Tout à fait.

Intervenant 12:46

En revanche, si on relie quatre points et que ça forme une espèce de pointe de flèche ou un boomerang avec un sommet qui pointe vers l'intérieur de la figure.

Intervenant 22:54

Là, ça ne marche pas.

Intervenant 12:56

Voilà. Et donc, l'idée d'Esther Klein, c'est que l'ordre parfait de ce cerf-volant, il est toujours caché quelque part dans ces cinq points jetés au hasard.

Intervenant 23:04

La démonstration qu'elle propose, c'est vraiment un modèle d'élégance. Pour visualiser, imaginons qu'on place un grand élastique autour de ces cinq points sur la table.

Intervenant 13:13

Ok, je vois bien l'image.

Intervenant 23:15

Et on relâche l'élastique pour qu'il enserre l'ensemble des points. La forme géométrique que prend cet élastique tendu, c'est ce qu'on appelle en géométrie l'enveloppe convexe.

Intervenant 13:23

Donc c'est vraiment la frontière extérieure de notre nuage de points.

Intervenant 23:27

Exactement. Et en observant ce périmètre, on réalise qu'il n'y a que trois scénarios possibles, physiquement parlant.

Intervenant 13:33

Le premier scénario, c'est le plus évident, je suppose. L'élastique s'arrête sur quatre des cinq points et le cinquième reste coincé tout seul à l'intérieur de la forme.

Intervenant 23:41

C'est ça. Et dans ce cas-là, le périmètre extérieur forme déjà, par définition, notre quadrilatère convexe.

Intervenant 13:46

Bah oui, forcément. Donc le pari est gagné instantanément.

Intervenant 23:49

Le deuxième scénario est tout aussi direct. L'élastique touche carrément les cinq points. Donc la forme extérieure, c'est un pentagone.

Intervenant 13:57

Un polygone à cinq côtés, ok.

Intervenant 23:59

Voilà, et puisqu'un pentagone convexe a tous ses angles qui poussent vers l'extérieur, il suffit d'ignorer n'importe lequel des cinq sommets, les quatre restants vont inévitablement former un quadrilatère convexe parfait.

Intervenant 14:12

Ah bah oui, c'est logique, on en enlève un, il en reste quatre bien disposés.

Intervenant 24:16

C'est la règle qui se vérifie.

Intervenant 14:18

Ce qui nous amène au troisième scénario, et franchement, c'est de loin le plus intéressant. Que se passe-t-il si l'élastique ne touche que trois points ?

Intervenant 24:25

Eh bien, on obtient un grand triangle extérieur, et donc les deux autres points se retrouvent emprisonnés à l'intérieur de ce triangle. On a nos trois sommets extérieurs, disons A, B et C, et nos deux points internes, D et E. Mais comment on fait émerger un quadrilatère de ça ? C'est là qu'Esther Klein sent une astuce brillante. Elle dit « traçons une ligne droite infinie qui passe par ces deux points internes, D et E ».

Intervenant 14:48

Ok, on relie les deux points du milieu.

Intervenant 24:51

Voilà. Et souviens-toi de la règle de départ. Aucun groupe de trois points ne doit être aligné.