Losange : cercle inscrit pour tous, circonscrit pour le carré

Intervenant 10:00

Bienvenue dans le podcast du magazine Tangente. Je suis super content de vous retrouver aujourd'hui pour une nouvelle plongée mathématique.

Intervenant 20:06

Salut Sam ! Et ouais, je suis vraiment ravie d'être là parce que le sujet du jour, il est particulièrement croustillant en fait.

Intervenant 10:13

C'est clair. On va s'attaquer à un concept qui est basé sur un article au titre, disons, très magritien. Ça s'appelle « Ceci n'est pas un carré ». Et c'est génial parce que ça parle d'une forme qu'on voit tous depuis l'école primaire.

Intervenant 20:26

Exactement. Une forme qu'on croit tous connaître par cœur, mais qui

Intervenant 10:29

cache... Qui cache bien son jeu, ouais.

Intervenant 20:31

Le carré, bon, tout le monde voit ce que c'est. C'est stable, c'est rassurant, on sait calculer son air sans réfléchir.

Intervenant 10:36

Mais voilà, la question de notre source aujourd'hui, c'est que se passe-t-il si on prend ce fameux carré et qu'on pousse juste un tout petit peu sur les coins ? On le déforme et ça devient ce cousin un peu bizarre, le losange. Et là, c'est la panique. Les règles de base s'effondrent complètement.

Intervenant 20:54

C'est exactement l'objectif de notre exploration. En fait, on va déconstruire toutes ces idées reçues sur Losange. On va voir à quel point les angles dictent sa vie, en gros. Et surtout, on va plonger dans le mystère des cercles qui essayent de s'y insérer, parfois avec succès, parfois pas du tout.

Intervenant 11:11

J'ai hâte. Alors pour commencer cette déconstruction, l'article me le doit sur un truc assez contre-intuitif concernant la longueur.

Intervenant 21:17

Ah oui, la fameuse illusion de la longueur ?

Intervenant 11:19

Voilà. En géométrie de base, quand tu dis « j'ai un carré de 10 cm de côté », bah l'affaire est classée. Le carré est verrouillé, son air fera toujours 100 cm², point barre.

Intervenant 21:29

C'est ça. Mais le losange, lui, il refuse cette fixité. Si tu donnes juste la longueur de son côté, que les matheux appellent petit a en général, bah ça suffit absolument pas à le définir.

Intervenant 11:40

Donc je peux très bien avoir deux losanges différents, avec des côtés de 10 cm, mais qui sont en fait deux objets mathématiques qui n'ont rien à voir.

Intervenant 21:48

Absolument ! Le secret, l'ingrédient qui te manque là, c'est l'angle. L'angle entre deux côtés successifs, qu'on appelle souvent alpha. Si tu as un losange avec un angle très ouvert, genre 120°, et un autre très pointu à 30°,

Intervenant 12:02

L'espace à l'intérieur n'aura rien à voir. L'aire va être complètement différente.

Intervenant 22:06

Voilà, alors que le périmètre, lui, il est resté exactement le même.

Intervenant 12:09

Attends, pour bien visualiser le truc, l'article donne une image mentale que je trouve super puissante. Faut imaginer un cadre.

Intervenant 22:15

Le cadre en bois articulé, oui.

Intervenant 12:17

C'est ça. Genre tu prends quatre morceaux de bois pareils, tu les attaches au coin, mais au lieu de mettre des clous, tu mets des charnières un peu lâches.

Intervenant 22:24

Ce qui te donne une structure complètement flexible.

Intervenant 12:27

Exactement. Si tu le tiens bien droit, paf, c'est un carré. Mais si tu appuies sur deux coins opposés, le cadre s'aplatit, les coins s'éloignent, la forme

Intervenant 22:36

s'étire. Jusqu'à presque devenir une simple ligne droite si tu pousses à fond quoi.

Intervenant 12:40

Ouais, et les morceaux de bois n'ont pas rétréci, le périmètre est intact. Mais l'espace au milieu, la surface, elle fond comme neige au soleil.

Intervenant 22:47

C'est la notion de degré de liberté en fait. Et du coup, le gros défi mathématique que ça pose, c'est que si cette aire change tout le temps, à cause des charnières, comment on fait pour la calculer ? Comment on trouve une formule qui marche pour tous les losanges ?

Intervenant 13:01

Bah ouais, on peut plus juste faire côté fois côté comme pour le carré.

Intervenant 23:04

Non, fini la facilité. Là, il faut regarder à l'intérieur de la bête. Il faut tracer les diagonales.

Intervenant 13:11

Les diagonales, ok. Ça paraît contre-intuitif de couper la forme, mais en fait, c'est la clé.

Intervenant 23:17

C'est la clé de vous, toi, parce que le losange, il a une propriété magique. Ces deux diagonales, elles se coupent toujours exactement à leur milieu et surtout, elles sont toujours perpendiculaires.

Intervenant 13:28

Ah, ça forme une croix parfaite au centre avec des angles droits.

Intervenant 23:31

Exactement. Et en faisant ça, tu viens de diviser ton losange instable en quatre petits triangles rectangles rigoureusement identiques.

Intervenant 13:39

Ok, donc le problème devient super simple. Au lieu de calculer l'aire du losange bizarre, je calcule juste l'aire d'un petit triangle rectangle et je multiplie par 4.

Intervenant 23:49

Voilà. Sauf que si tu te souviens de ton cadre articulé…

Intervenant 13:53

Ah bah oui, les dimensions des triangles changent quand j'écrase le cadre.

Intervenant 23:56

C'est ça le piège. La taille de la croix au milieu, elle dépend de l'ouverture de tes charnières, donc de l'angle de départ. Et c'est là que la source fait entrer la grosse artillerie, la trigonométrie.

Intervenant 14:07

Oula, le fameux duo sinus et cosinus.

Intervenant 24:10

T'inquiète pas, on va pas réciter des équations à rallonge. Mais l'idée, c'est que pour trouver la base et la hauteur d'un petit triangle, on utilise la moitié de l'angle alpha.