Carré quarré parfait : la quête du plus petit découpage

Intervenant 10:00

Bonjour et bienvenue dans le podcast du magazine Tangente. Aujourd'hui, on a une mission un peu spéciale. On va décortiquer un casse-tête géométrique assez fascinant qui s'appelle la quadrature du carré.

Intervenant 20:15

C'est ça, oui. Bonjour. Alors, le but de ce casse-tête, en fait, c'est de paver un grand carré uniquement avec des carrés plus petits. Mais attention, la règle absolue, c'est que chaque petit carré doit avoir une dimension unique.

Intervenant 10:27

Et sur le papier, ça a l'air d'un simple puzzle d'enfant. Mais en réalité, c'est un vrai cauchemar, on est d'accord.

Intervenant 20:33

Oh totalement. C'est un véritable cauchemar topologique même.

Intervenant 10:37

C'est comme si on essayait de carreler le sol d'une salle de bain parfaite. Sauf qu'on n'a pas le droit d'utiliser deux fois la même dimension de carreau.

Intervenant 20:45

C'est une super analogie. Et d'ailleurs, au début, les gens trichaient un peu. Au XIXe siècle, il y avait le fameux puzzle américain du kilt de Monsieur Perquin, créé par Samuel Lloyd.

Intervenant 10:55

Ah oui, le puzzle avec des doublons, c'est ça ?

Intervenant 20:58

Exactement ! Il y avait des tailles en double pour combler les trous. Le défi théorique était tellement immense qu'en 1903, le mathématicien Max Den a dû poser un cadre très strict.

Intervenant 11:08

C'était un élève de Hilbert d'ailleurs, non ?

Intervenant 21:10

Oui, tout à fait. Eden prouve qu'un rectangle ne peut être découpé en carrés uniques que si ses côtés sont commensurables.

Intervenant 11:17

Donc ça veut dire qu'il doit former un rapport rationnel, c'est bien ça ?

Intervenant 21:20

Voilà, c'est la condition. Si le rapport est irrationnel, c'est foutu. Les bords des petits carrés intérieurs ne s'aligneront jamais proprement sur le bord extérieur.

Intervenant 11:28

Ah d'accord, donc la grille est brisée d'avance quoi.

Intervenant 21:30

Des rectangles.