27 déc. 2022 · 19 min
Pourquoi 2023 survit-il au crible de Flavius Josèphe ?
Dans cet épisode, suivez les éliminations du crible jusqu’à découvrir pourquoi 2023 subsiste et devient le cinquante-et-unième nombre de la suite.
Collections de cet épisode (7)
Un contenu original Tangente, adapté en podcast avec l’aide de l’IA et validé par notre rédaction. Comment ça marche ?
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Intervenant 1
Bienvenue à toutes et à tous dans le podcast du magazine Tangente. Et imaginons un instant que l'année en cours, ce ne soit pas juste une date banale qu'on gribouille en haut d'une feuille.
Intervenant 2
Oui, ce serait plutôt, disons, la survivante inattendue d'un véritable massacre algorithmique imaginé sous l'Empire romain.
Intervenant 1
Ah, carrément le massacre !
Intervenant 2
Totalement. C'est une façon un peu vertigineuse de voir les choses, je l'avoue. Mais c'est exactement la réalité mathématique qui se cache derrière notre calendrier. En fait, on a souvent l'habitude de traverser une année sans jamais vraiment regarder le nombre qui la représente.
Intervenant 1
Ok, décortiquons tout ça. Aujourd'hui, on va parler du millésime de notre calendrier grégorien. Le magazine Tangente a cette tradition formidable de prendre l'année en cours, en l'occurrence 2023 pour les sources qu'on explore aujourd'hui, et de la traiter non pas comme une unité de temps, mais vraiment comme un terrain de jeu.
Intervenant 2
Une énigme à disséquer, oui. Et c'est un point de départ qui promet une exploration assez folle pour notre audience. Parce que pour comprendre ce qui se cache vraiment sous le capot de ce nombre, on va devoir partir d'une simple multiplication sur un bout de papier. Pour ensuite croiser la route d'un célèbre cinéaste japonais, traverser un champ de bataille de l'Antiquité et on finira même, accroche-toi bien, dans le laboratoire secret de l'inventeur de la bombe à hydrogène.
Intervenant 1
Le grand écart total quoi.
Intervenant 2
Exactement.
Intervenant 1
Bah écoute, c'est le genre de programme qui donne envie d'attacher sa ceinture. Commençons par la base absolue. Si on me donne un nombre complexe, mon premier réflexe pour le comprendre, c'est d'imaginer un immense château en Lego.
Intervenant 2
L'analogie des briques.
Intervenant 1
Ouais, on a tout de suite envie de le démonter pièce par pièce pour voir exactement quelles petites briques de base ont été utilisées pour le construire.
Intervenant 2
Et en arithmatique, ces petites briques de base indivisibles, ce sont les nombres premiers. Donc, quand un mathématicien voit 2023, son cerveau se met immédiatement en mode scanner. Il se demande, est-ce que c'est une brique unique, un nombre premier, divisible uniquement par 1 et par lui-même, ou est-ce que c'est un assemblage ?
Intervenant 1
Alors, essayons de faire le test mentalement pour voir. Déjà, ça ne se termine pas par un chiffre paire, donc on oublie le 2. Ça ne se termine pas par 0 ou 5. On arrive à 7. 7 n'est pas dans la table de 3.
Intervenant 2
Non, donc pas divisible par 3.
Intervenant 1
Donc on pourrait chercher comme ça avec sa calculette pendant un bon moment ?
Intervenant 2
Ouais, mais on finirait par trouver une faille en fait. Non, c'est pas un nombre premier. La factorisation, donc la fameuse liste des briques de base de notre château Lego, c'est le nombre 7 multiplié par 17 au carré. C'est son architecture fondamentale.
Intervenant 1
Un bloc de 7 et deux blocs de 17. C'est
Intervenant 2
ça, 7 x 17 x 17.
Intervenant 1
C'est assez élégant comme structure. Mais j'imagine que les chercheurs ne s'arrêtent pas à ce simple démontage. Une fois qu'on a les briques, on essaie de construire la même forme avec d'autres pièces.
Intervenant 2
Exactement. On peut regarder le nombre sous l'angle des puissances, par exemple. Tiens, si on ajoute simplement 25 à 2023. Attends, 25 plus 2023, ça fait 2048 ? Voilà. Et 2048, ça doit te parler.
Intervenant 1
Ah bah oui. Au-delà du fameux jeu sur smartphone qui a rendu tout le monde fou il y a quelques années, c'est une puissance de 2 très célèbre en informatique, non ?
Intervenant 2
C'est le chiffre clé des informaticiens. C'est 2 à la puissance 11. Ce qui veut dire qu'on peut écrire notre année sous une forme incroyablement symétrique. Genre 2 à la puissance 11 moins 5 au carré. On n'utilise que des puissances pour le définir.
Intervenant 1
Ah ouais, c'est vrai que visuellement, sur un tableau noir, ça a de la gueule. D'ailleurs, en parcourant les notes de cette exploration, je suis tombée sur les travaux de Raphaël Douailly.
Intervenant 2
Ah oui, Raphaël.
Intervenant 1
Il est allé encore plus loin dans la contrainte. Il a cherché à écrire 2023 en utilisant exclusivement les chiffres 2 et 5. C'est un peu comme s'obliger à peindre un tableau hyper réaliste en ayant le droit d'utiliser que, je ne sais pas, de la peinture bleue et jaune.
Intervenant 2
C'est une super métaphore et ça donne des formules mathématiques complètement acrobatiques. Il a trouvé par exemple 2 à la puissance 10 qu'on multiplie par 2 et auquel on soustrait 5 au carré.
Intervenant 1
D'accord.
Intervenant 2
Il a même réussi à le faire avec uniquement des 3 et des 1. Ce qui est fascinant ici, c'est la flexibilité infinie du langage mathématique. La rigueur n'empêche pas du tout l'imagination ludique.
Intervenant 1
Oui, ça la provoque même. Mais je dois t'avouer que ça me pose une question. On voit aussi dans les sources que Dominique Soudère a créé des carrés magiques spécifiques pour cette année-là. En toute honnêteté, est-ce que ce n'est pas juste un passe-temps de génie tout ça, genre un sudoku de luxe ? Ou est-ce que le fait de s'interdire d'utiliser certains chiffres pour arriver à un résultat a une véritable utilité pour la science ?
Intervenant 2
C'est une question légitime. L'utilité n'est pas toujours immédiate, on va dire. Mais la démarche est vitale. S'imposer des contraintes artificielles, c'est forcer le cerveau à emprunter des chemins de traverse.
Intervenant 1
Donc sortir de sa zone de confort algorithmique ?
Intervenant 2
Exactement. C'est en refusant la facilité qu'on découvre soudainement de nouvelles symétries ou des propriétés cachées qu'on n'aurait jamais vues autrement.
Intervenant 1
Ce qui fait une transition parfaite en fait. Parce que si la création de beauté naît de l'imposition de contraintes artificielles, que se passe-t-il quand un artiste, quelqu'un de totalement extérieur au monde académique, décide de débarquer et d'imposer ses propres règles du jeu aux mathématiciens ?
Intervenant 2
Et là, on quitte le tableau noir pour le tapis rouge. On fait entrer en scène Takeshi Kitano.
Intervenant 1
Le cinéaste japonais.
Intervenant 2
L'homme derrière des chefs-d'œuvre comme Sonatine ou Anabi.
Intervenant 1
Lui-même.
Intervenant 2
Mais il n'a absolument aucune formation en mathématiques à ma connaissance.
Intervenant 1
Aucune, mais c'est un esprit profondément curieux.
Intervenant 2
En 2011, la Fondation Cartier à Paris a organisé une grande exposition qui s'appelait Mathématiques, un dépaysement soudain. Et Kitano a lancé un défi aux visiteurs et par extension à la communauté scientifique mondiale.
Intervenant 1
C'était quoi le but du jeu ?
Intervenant 2
Trouver la formule la plus courte possible pour exprimer l'année en cours.
Intervenant 1
Attends, quand on dit la plus courte, c'est-à-dire utiliser le moins de symboles possible sur la page.
Intervenant 2
C'est ça le minimum d'encreté. Mais avec une contrainte séquentielle assez diabolique. Il faut utiliser les premiers nombres entiers dans l'ordre croissant strict. 1, puis 2, puis 3, etc.
Intervenant 1
Ah oui, d'accord.
Intervenant 2
Et entre ces chiffres, on a le droit d'insérer des opérations mathématiques usuelles. Donc l'addition, la soustraction, la multiplication, la division, les puissances, les racines ou les factorielles.
Intervenant 1
Mais attends, si je dois utiliser 1 puis 2 puis 3 pour arriver jusqu'à 2023, la formule risque de faire 3 km de long avant que le total ne grimpe assez
Intervenant 2
haut. C'est tout le défi justement. Pour raccourcir la formule, il faut utiliser des opérations qui font exploser les valeurs hyper rapidement.
Intervenant 1
Ah, je vois, pour atteindre le grand nombre avec peu de chiffres.
Intervenant 2
Voilà, et pour 2023, c'est Alain Zalmanski qui a décroché un record absolu de concision. Sa formule n'utilise que les 6 premiers chiffres, uniquement de 1 à 6. C'est un chef-d'œuvre de densité.
Intervenant 1
Seulement 6 chiffres, ok. Comment c'est humainement possible de monter à plus de 2000 avec juste 1, 2, 3, 4, 5 et 6 ?
Intervenant 2
Alors, la formule est la suivante, je te la donne.
Intervenant 1
Je note mentalement.
Intervenant 2
On prend
Intervenant 1
1 x 2. Ok,
Intervenant 2
ça fait 2. Auquel on ajoute la factorielle de 3, le tout à la puissance 4. Ensuite, on ajoute 5. Et enfin, on ajoute la factorielle de 6.
Intervenant 1
Wow. Faisons une pause sur le mot « factorielle » pour que tout le monde dans l'audience visualise bien. C'est ce petit point d'exclamation qu'on met parfois derrière un chiffre, c'est ça ?
Intervenant 2
C'est bien ça.
Intervenant 1
Qu'est-ce que ça fait physiquement à notre chiffre en fait ?
Intervenant 2
La factorielle, c'est un peu l'opération de l'avalanche. Si on prend la factorielle de 3, ça veut dire qu'on multiplie 3 par tous les entiers qui le précèdent.
Intervenant 1
Donc 3 x 2 x 1.
Intervenant 2
Exactement. Ce qui donne 6.
Intervenant 1
Et dans la formule de Zalmanski, on prend ce 6 et on le met à la puissance 4. Donc 6 x 6 x 6 x 6. Ouais, ça commence à faire lourd.
Intervenant 2
On arrive à 1296. Ensuite, la fin de la formule demande la factorielle de 6. Donc 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1.
Intervenant 1
Ce qui nous amène à 720.
Intervenant 2
Parfait. Alors maintenant, si on additionne notre début de formule, on avait notre 1 x 2, donc 2, plus notre 1296. Ça fait 1298. On ajoute le chiffre 5 suivant dans la séquence.
Intervenant 1
1303. Et
Intervenant 2
on ajoute enfin la factorielle de 6, soit 720. Le total tombe avec une précision millimétrique
Intervenant 1
sur...
Intervenant 2
2023.
Intervenant 1
C'est fou, les pièces s'emboîtent parfaitement. Les auditeurs peuvent même faire le calcul chez eux pour vérifier.
Intervenant 2
Je précise aussi que François Lavallou a fait des tentatives très créatives de son côté. Mais ce record de 6 chiffres est vraiment impressionnant.
Intervenant 1
Ouais, mais du coup, je vais encore faire l'avocat du diable. Quand je vois ce résultat au fond, est-ce qu'on est encore dans des vraies mathématiques élégantes ?
Intervenant 2
Comment ça ?
Intervenant 1
Bah, n'importe quel programme informatique basique peut tester des millions de combinaisons d'opérations à la seconde jusqu'à trouver celle qui marche, non ? C'est presque, je sais pas, écrire un haïku mathématique par la force brute ?
Intervenant 2
C'est vrai que la machine aide. Mais si on relie ça à une vision plus globale, l'ordinateur n'est qu'un ouvrier dans l'histoire. Bien sûr, la machine calcule à la vitesse de l'éclair. Mais c'est l'esprit humain qui a fixé la contrainte esthétique. Pourquoi chercher le chemin le plus court ? Pourquoi imposer l'ordre croissant ? L'ordinateur ne ressent aucune émotion face à une équation de 10 pages. C'est l'humain qui s'émerveille devant cette économie de moyens. La recherche de l'élégance sous la contrainte, c'est l'essence même de la beauté en mathématiques.
Intervenant 1
C'est une très belle réponse. L'art conceptuel a poussé la machine dans ses rétranchements en fait.
Intervenant 2
Exactement.
Intervenant 1
Mais laissons le monde de l'art contemporain de côté un instant. Parce que ces contraintes artificielles, elles nous préparent à la partie que je trouve la plus dingue de nos sources. Ah,
Intervenant 2
on y vient.
Intervenant 1
Parfois, les règles mathématiques ne naissent pas d'enjeux, mais d'une question de vie ou de mort. C'est là que ça devient vraiment intéressant. On va carrément plonger dans l'antiquité romaine.
Intervenant 2
Le grand plongeon. Et le contraste est total. On passe d'une galerie d'art parisienne au premier siècle de notre ère, en pleine guerre.
Intervenant 1
Ouais.
Intervenant 2
Car notre nombre possède une propriété combinatoire très singulière. C'est le 51e nombre de Flavius Josèphe.
Intervenant 1
Alors, remettons un peu les choses dans leur contexte historique pour tout le monde. Flavius Josèphe, c'est un nom immense de l'Antiquité. Un commandant militaire juif en Galilée qui s'est rebellé contre l'Empire romain avant de finalement changer de camp pour survivre.
Intervenant 2
Une figure complexe.
Intervenant 1
Très. Il s'est installé à Rome et est devenu un des plus grands chroniqueurs historiques de cette période.
Intervenant 2
Et son nom est resté gravé dans l'histoire des mathématiques à cause d'un récit tragique lié à un siège militaire qu'il a subi. Pour éviter la capture par les Romains, ces hommes auraient décidé de s'éliminer mutuellement selon une ronde fatale.
Intervenant 1
Très
Intervenant 2
sombre. Et les mathématiciens modernes ont abstrait ce récit sanglant pour créer un algorithme extrêmement rigoureux qu'on appelle aujourd'hui le crible de Flavius Joseph.
Intervenant 1
Pour bien vulgariser le concept sans entrer dans les détails de la tragédie humaine, j'aime bien comparer ce crible à une partie de chasse musicale infinie et impitoyable.
Intervenant 2
C'est une très bonne image.
Intervenant 1
Sauf qu'ici, les règles de l'élimination changent à chaque tour d'horloge.
Intervenant 2
Voilà, c'est pas juste la musique qui s'arrête. L'algorithme est redoutable. Imaginons qu'on prenne tous les nombres entiers et qu'on les aligne dans une liste infinie. 1, 2, 3, 4, 5, 6 et ainsi de suite.
Intervenant 1
Ok, la liste est prête.
Intervenant 2
La première étape du crible est simple. On parcourt la liste et on élimine un nombre sur deux.
Intervenant 1
Donc, la faux est passée, tous les nombres pairs sont éliminés d'un coup, le 2, le 4, le 6, tout ça dégage.
Intervenant 2
Exactement. Il ne reste plus que les impairs dans notre nouvelle liste de survivants. Donc 1, 3, 5, 7, 9, 11, etc.
Intervenant 1
D'accord, la liste s'est resserrée.
Intervenant 2
Et c'est là que ça devient un processus itératif fascinant. Sur cette nouvelle liste, on élimine plus un nombre sur 2. On élimine un nombre sur 3.
Intervenant 1
Alors attends, essayons de suivre avec la liste des survivants. Ma liste c'est 1, 3, 5, 7, 9, 11. C'est
Intervenant 2
ça.
Intervenant 1
Donc le premier c'est 1, je le garde. Le deuxième c'est 3, je le garde. Le troisième c'est 5, donc paf, le 5 est éliminé.
Intervenant 2
Parfaitement.
Intervenant 1
Le suivant dans la liste c'est 7, je garde. Ensuite 9, je garde. Le suivant c'est 11, donc c'est le troisième de cette série. Il saute.
Intervenant 2
Voilà la mécanique. Et on continue comme ça jusqu'à l'infini sur cette liste. Puis, on prend les survivants de cette deuxième vague, et à l'étape 3 de l'algorithme, on élimine un nombre sur 4.
Intervenant 1
Ah la vache !
Intervenant 2
Puis sur la liste suivante, 1 sur 5. Et ainsi de suite à l'infini.
Intervenant 1
C'est un broyeur numérique ce truc.
Intervenant 2
Et l'écart entre les survivants doit devenir complètement imprévisible.
Intervenant 1
C'est une véritable prouesse algorithmique de calculer ça.
Intervenant 2
Mais la grande révélation, c'est que certains nombres ont une chance inouïe. Ils réussissent à passer à travers les gouttes de toutes les étapes de l'élimination pour l'éternité.
Intervenant 1
Et ce sont ces fameux nombres de Flavius Josèphe, c'est ça ?
Intervenant 2
C'est ça. Au début, on trouve le 1, le 3, le 7, le 13, le 19. Et si on laisse tourner cette loterie infernale, le 51e survivant qui émerge de l'algorithme...
Intervenant 1
C'est le nombre 2023.
Intervenant 2
En plein dans le mille.
Intervenant 1
Mais c'est incroyable ! Alors, qu'est-ce que tout cela signifie pour la science moderne ? Je veux dire, je veux bien que ce soit une belle histoire antique et une prouesse algorithmique. Mais pourquoi les mathématiciens s'intéressent-ils à ce crible ?
Intervenant 2
Cela soulève une question importante sur la nature interconnectée de la recherche. Les scientifiques n'étudient pas ça juste pour le folklore romain. Et c'est là qu'entre en scène un physicien majeur, Stanislav Ulam.
Intervenant 1
Waouh, en fait un bon spatio-temporal monumental.
Intervenant 2
De l'an 70 ans environ à la seconde guerre mondiale.
Intervenant 1
Stanislaw Ulam, le mathématicien américain d'origine polonaise, c'est bien ça ?
Intervenant 2
Pour situer le personnage, pour notre audience, on parle de quelqu'un qui a travaillé sur la bombe H, l'arme la plus destructrice de l'histoire.
Intervenant 1
Oui, un homme au cœur du projet Manhattan, puis des développements ultérieurs. Ulam était un maître des probabilités et des statistiques.
Intervenant 2
Mais comment il en arrive à se passionner pour un jeu romain ?
Intervenant 1
En fait, il étudiait un autre mystère fondamental, la répartition des nombres premiers. On sait que les nombres premiers sont générés par un autre système d'élimination très ancien, le crible d'Eratosthène.
Intervenant 2
Ah oui, celui qu'on apprend à l'école. On prend tous les nombres, on élimine tous les multiples de 2, puis tous les multiples de 3, etc. Exactement. Le truc, c'est que les nombres premiers semblent se raréfier au fur et à mesure qu'on avance vers l'infini. Et Ulam se posait une question vertigineuse. Est-ce que cette raréfaction est due à la nature magique de la division et de l'arithmétique ? Ou est-ce que, tout bêtement, n'importe quel système d'élimination progressif finirait par produire le même résultat statistique d'appauvrissement ?
Intervenant 1
Je vois l'astuce. Il avait besoin d'un point de comparaison. Parce que dans le crible de Flavius Josèphe, on ne regarde absolument pas si le nombre est divisible par quoi que ce soit.
Intervenant 2
Aucune notion de multiple ou de division, non ?
Intervenant 1
On regarde juste s'il est assis au mauvais endroit, au mauvais moment dans la file latente. C'est purement géographique en fait.
Intervenant 2
Voilà. Le crible de Josèphe sert de groupe témoin, comme dans un laboratoire médical en quelque sorte, pour tester le comportement mathématique des nombres premiers. En comparant les deux, Ulam pouvait distinguer ce qui relève du hasard mécanique d'élimination de ce qui est propre à l'arithmétique pure.
Intervenant 1
Et j'imagine que les statistiques sont vertigineuses.
Intervenant 2
Elles sont sans appel. Les nombres de Flavius Josèphe subissent une hécatombe beaucoup, beaucoup plus rapide que les nombres premiers.
Intervenant 1
Vraiment ?
Intervenant 2
Prenons un échantillon concret. Si on regarde tous les entiers inférieurs à 100 000. Ok. Du côté des nombres premiers, on en trouve 9592.
Intervenant 1
Ça fait un bon petit bataillon. Et du côté de Flavius Josèphe ?
Intervenant 2
Sur les 100 000 premiers entiers, il ne reste que 357 survivants de Josèphe.
Intervenant 1
357. Ah ouais, la différence est colossale. Les sources de notre analyse parlent de la distribution asymptotique pour expliquer ça de façon rigoureuse. Comment on peut visualiser ça sans perdre tout le monde avec des équations indigestes ?
Intervenant 2
Alors, pour faire simple, la distribution asymptotique, c'est la vitesse à laquelle ces nombres disparaissent quand on voyage vers l'infini. Pour les nombres de Josèphe, le nombre de survivants équivaut à peu près à deux fois la racine carrée du nombre total divisé par pi. L'élément clé ici, c'est la racine carrée. C'est un freinage brutal. Alors que pour les nombres premiers, la formule équivaut à n divisé par le logarithme népérien de n.
Intervenant 1
Et un logarithme, ça freine beaucoup moins fort qu'une racine carrée, c'est ça ?
Intervenant 2
Exactement. La croissance de la liste des nombres premiers est beaucoup plus rapide. C'est une voiture qui ralentit doucement, alors que les nombres de Josèphe sont dans une voiture qui pile sur les freins.
Intervenant 1
Donc, ça veut dire que les nombres premiers sont incroyablement robustes par nature.
Intervenant 2
C'est la grande conclusion. Leur nature arithmétique leur confère une densité structurelle exceptionnelle. Sans le crible de Flavius Josèphe pour faire ce test en laboratoire, on n'aurait jamais pu mesurer à quel point les nombres premiers résistent bien à l'infini.
Intervenant 1
C'est fou ! Pardon, je suis vraiment bluffée par tout ça. Quel voyage insensé on vient de faire.
Intervenant 2
C'est sûr qu'on a vu du pays.
Intervenant 1
Je veux dire, au début de cette exploration, on a simplement pris le millésime 2023 et on a démonté un château en Lego pour trouver nos petits blocs de 7 et de 17.
Intervenant 2
Pour ensuite basculer dans la création mathématique sous contrainte, avec le défi de Takeshi Kitano et ses incroyables factoriels.
Intervenant 1
Ensuite, on a survécu de justesse aux chaises musicales mortelles des légions romaines, avec notre algorithme impitoyable.
Intervenant 2
Pour finir, dans le laboratoire d'un des concepteurs de la bombache, qui a utilisé cette tragédie antique pour percer le blindage des nombres premiers.
Intervenant 1
Et dire que toute cette histoire, toute cette densité d'art, d'histoire et de logique pure, elle dormait silencieusement dans une simple année civile. Le genre de nombre qu'on tape machinalement en bas d'un document sans y prêter la moindre attention. L'anatomie secrète des mathématiques est vraiment partout.
Intervenant 2
Et je pense que ça laisse l'audience sur une réflexion un peu vertigineuse pour finir. Si une simple année contient une telle densité de mystères, quel labyrinthe mathématique insoupcionné dorme en ce moment même dans notre propre année de naissance ?
Intervenant 1
Oh là là !
Intervenant 2
Chaque date sur la frise chronologique cache ses propres énigmes, attendant simplement d'être passé au bon crible.
Intervenant 1
C'est une pensée géniale. Une vraie invitation à l'exploration personnelle sur laquelle on va se quitter aujourd'hui. Merci infiniment à tout le monde pour votre écoute et votre curiosité toujours insatiable. Gardez l'œil ouvert sur les chiffres qui vous entourent et à très vite pour une nouvelle immersion.
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